أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) f(x)=x32x1

f(x)=x32x1f(x)=(2x1)(3x2)(x3)(2)(2x1)2=4x33x2(2x1)2

(2) f(x)=x3sec x

f(x)=x3secxf(x)=(x3)(secx tanx)+(secx)(3x2)=x3secx tanx+3x2secx

(3) f(x)=x+1cos x

f(x)=x+1cosxf(x)=(cosx)(1)(x+1)(sinx)(cosx)2=cosx+xsinx+sinxcos2x

(4) f(x)=ex(tan xx)

f(x)=ex(tanxx)f(x)=(ex)(sec2x1)+(tanxx)(ex)=extan2x+extanxxex

(5) f(x)=sin x+cos xex

f(x)=sinx+cosxexf(x)=(ex)(cosxsinx)(sinx+cosx)(ex)(ex)2=2sinxex

(6) f(x)=x3sin x+x2cos x

f(x)=x3sin x+x2cos xf(x)=(x3)(cos x)+(sin x)(3x2)+(x2)(sin x)+(cos x)(2x)=x3cos x+2x2sin x+2xcos x

(7) f(x)=x3(x+3)

f(x)=x3(x+3)=x56+3x13f(x)=56x16+x23=566+1x23

(8) f(x)=1+sec x1sec x

f(x)=1+secx1sec xf(x)=(1sec x)(sec x tan x)(1+sec x)(sec x tan x)(1sec x)2=2sec x tan x(1sec x)2

(9) f(x)=21xx3

f(x)=21xx3=2x1x23xf(x)=(x23x)(2)(2x1)(2x3)(x23x)2=2x2+2x3(x23x)2

(10) f(x)=(x3x)(x2+2)(x2+x+1)

f(x)=(x3x)(x2+2)(x2+x+1)f(x)=(x3x)((x2+2)(2x+1)+(x2+x+1)(2x))+(x2+2)(x2+x+1)(3x21)=(x3x)(x2+2)(2x+1)+(x3x)(x2+x+1)(2x)+(x2+2)(x2+x+1)(3x21)

(11) f(x)=(csc x+cot x)1

f(x)=(cscx+cotx)1=1cscx+cotxf(x)=1(csc x cot xcsc2 x)(csc x+cot x)2=cscx cot x+csc2 x(csc x+cot x)2=csc x(cot x+csc x)(csc x+cot x)2=csc xcot x+csc x

 

إذا كان f(x) و g(x) اقترانين قابلين للاشتقاق عندما x = 0 ، وكان:

 f(0)=5, f(0)=3, g(0)=1, g(0)=2 فأجد كلاً ممّا يأتي:

(12) (fg)(0)

(fg)(0)=f(0)g(0)+g(0)f(0)=5×21×3=13

(13) (fg)(0)

(fg)(0)=g(0)f(0)f(0)g(0)g2(0)=1×35×2(1)2=7

(14) (7f2fg)(0)

(7f2fg)(0)=7f(0)2(fg)(0)=7(3)2(13)=47

 

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(15) f(x)=x24x2+4 , x=2

f(x)=x24x2+4f(x)=(x2+4)(2x)(x24)(2x)(x2+4)2=16x(x2+4)2f′′(x)=(x2+4)2(16)(16x)(2)(x2+4)1(2x)(x2+4)4=(16)(x2+4)(16x)(2)(2x)(x2+4)3f′′(2)=(16)(8)(32)(2)(4)(8)3=14

(16) f(x)=1+x1+x3 , x=8

f(x)=1+x1+x3=(1+x3)(1x3+x23)1+x3=1x3+x23f(x)=13x23+23x13f′′(x)=29x5329x43=29x5329x43f′′(8)=2985329843=29(132116)=1144

(17) f(x)=11+x , x=4

f(x)=11+xf(x)=(12x)(1+x)2=12x(1+x)2f′′(x)=2x(2)(1+x)1(12x)+(1+x)2(1x)4x(1+x)4=2+1+xx4x(1+x)3f′′(4)=2+1+2216(1+2)3=7864

 

أجد معادلة المماس لكل اقتران ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:

(18) f(x)=1+x1+ex , (0,12)

f(x)=1+x1+exf(x)=(1+ex)(1)(1+x)(ex)(1+ex)2=1xex(1+ex)2

ميل المماس عند النقطة (0, 12) هو: 14 f (0) =

معادلة المماس هي:

          y12=14(x0)y=14x+12

(19) f(x)=ex cos x+sin x,(0,1)

f(x)=ex cos x+sin xf(x)=(ex)(sin x)+(cos x)(ex)+cos x

ميل المماس عند النقطة (0, 1) هو:

f(0)=(1)(0)+(1)(1)+1=2

معادلة المماس هي:

y1=2(x0)y=2x+1

 

أثبت صحّة كلّ ممّا يأتي معتمداً أنّ ddx(cos x)=sin xddx(sin x)=cos x :

(20) ddx(cot x)=csc2 x

ddx(cot x)=ddx(cos xsin x)=(sin x)(sin x)(cos x)(cos x)sin2 x=sin2 xcos2 xsin2 x=1sin2 x=csc2 x

(21) ddx(sec x)=sec x tan x

ddx(sec x)=ddx(1cos x)=(sin x)cos2 x=1cos x×sin xcos x=sec x tan x

(22) ddx(csc x)=csc x cot x

ddx(csc x)=ddx(1sin x)=(cos x)sin2 x=1sin x×cos xsin x=csc x cot x

 

ألاحظ المشتقة المعطاة في كلّ ممّا يأتي، ثم أجد المشتقة العليا المطلوبة:

(23) f′′(x)=22x,f′′(x)

f′′(x)=22xf′′(x)=2x2

(24) f′′(x)=2x,f(4)(x)

f′′(x)=2xf(4)(x)=1x

(25) f(4)(x)=2x+1,f(6)(x)

f(4)(x)=2x+1f(5)(x)=2f(6)(x)=0

 

نباتات هجينة(26) نباتات هجينة: وجد فريق بحث زراعي أنّه يمكن التعبير عن ارتفاع نبتة هجينة من نبات تبّاع الشمس h بالأمتار، باستعمال الاقتران: h(t) = 3t24+t2 ، حيث t الزمن بالأشهر بعد زراعة البذور. أجد معدّل تغير ارتفاع النبتة بالنسبة إلى الزمن.

h(t)=3t24+t2h(t)=(4+t2)(6t)(3t2)(2t)(4+t2)2=24t(4+t2)2

 

إذا كان الاقتران: y = ex sin x ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(27) أجد dydx ، و d2ydx2 .

dydx=(ex)(cos x)+(sin x)(ex)=ex(cos x+sin x)d2ydx2=ex(sin x+cos x)+ex(cos x+sin x)=2excos x

(28) أثبت أنّ d2ydx2=2dydx2y

2dydx2y=2ex(cos x+sin x)2ex sin x=2excos x=d2ydx2

 

أقمار صناعية: عندما ترصد الأقمار الصناعية الأرض، فإنه يُمكنها مسح جزء فقط من سطح الأرض. وبعض الأقمار الصناعية تحوي مُستشعرات لقياس الزاوية Ɵ (بالراديان) المبينة في الشكل المجاور. إذا كان h يمثل المسافة بين القمر الصناعي وسطح الأرض بالكيلومترات، و r يُمثل نصف قطر الأرض بالكيلومترات، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(29) أثبت أنّ h = r(csc Ɵ - 1) .

cscθ=r+hrr+h=rcscθh=r(cscθ1)

(30) أجد معدل تغير h بالنسبة إلى Ɵ عندما θ=π6rad (أفترض أن r = 6371 km).

dhdθ=r(cscθ cotθ)dhdθ|θ=π6=6371(cscπ6 cotπ6)=6371(2×3)22070km/rad

 

(31) إذا كان: f(x)=9lnx+12x2 ، فأثبت أنّ f(x)=(3x1)(3x+1)x3 .

f(x)=9lnx+12x2f(x)=9(1x)+1(4x)4x4=9x1x3=9x21x3=(3x1)(3x+1)x3

 

يبين الشكل المجاور منحنيي الاقتراني: F(x) ، و G(x) .

إذا كان: P(x) = F(x)G(x) ، وكان: F(x)G(x)Q(x) =  ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(32) P(2)

P(2)=F(2)G(2)+G(2)F(2)

(2) G ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2, 2) و (4, 3) ويساوي 

(2) F ميل المماس الأفقي، ويساوي صفراً.

P(2)=3×12+2×0=32

(33) Q(7)

Q(7)=G(7)F(7)F(7)G(7)G2(7)=1×145×231=4312

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

21 / 10 / 2022

النقاشات