أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

المشتقة الثانية والسرعة المتجهة والتسارع

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران مما يأتي:

(1) f(x)=3x34x2+5x

f(x)=9x28x+5f′′(x)=18x8

(2) f(x)=2ex+x2

f(x)=2ex+2xf′′(x)=2ex+2

(3) f(x)=2cos xx3

f(x)=2sin x3x2f′′(x)=2cos x6x

(4) f(x)=4ln x3x3

f(x)=4(1x)9x2=4x9x2f′′(x)=4x218x

(5) f(x)=x3(x+6)6

f(x)=(x3)(6)(x+6)5(1)+(x+6)6(3x2)=(x+6)5(9x3+18x2)f′′(x)=(5)(x+6)4(1)(9x3+18x2)+(x+6)5(27x2+36x)=(x+6)4(72x3+288x2+216x)

(6) f(x)=x7ln x

f(x)=(x7)(1x)+(lnx)(7x6)=x6+(lnx)(7x6)f′′(x)=6x5+(lnx)(42x5)+(7x6)(1x)=13x5+(lnx)(42x5)

(7) f(x)=xx+2

f(x)=(x+2)(1)(x)(1)(x+2)2=2(x+2)2f′′(x)=2×2(x+2)(1)(x+2)4=4(x+2)(x+2)4=4(x+2)3

(8) f(x)=sin x2

f(x)=2xcos x2f′′(x)=(2x)(2xsin x2)+(cos x2)(2)=4x2sin x2+2cos x2

(9) f(x)=2x3

f(x)=6x4f′′(x)=24x5

(10) f(x)=x35x

f(x)=x35x=x35x1f(x)=3x2+5x2f′′(x)=6x10x3

(11) f(x)=x

f(x)=x=x12f(x)=12x12f′′(x)=14x32=14x3

(12) f(x)=24x+x2x3

f(x)=4+2x3x2f′′(x)=26x

 

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(13) f(x)=8x33x+4x , x=2

f(x)=8x33x+4x=8x33x+4x1f(x)=24x234x2f′′(x)=48x+8x3f′′(2)=48(2)+8(2)3=961=97

(14) f(x)=12x4 , x=3

f(x)=2(2x4)2f′′(x)=2×2×(2x4)1×2(2x4)4=8(2x4)3f′′(3)=8(2(3)4)3=88=1

 

(15) إذا كان: f(x)=px33px2+x4 ، وكانت: f′′(2)=1 ، فأجد قيمة الثابت p .

f(x)=3px26px+1f′′(x)=6px6pf′′(2)=6p(2)6p1=12p6p6p=1p=16

 

يمثل الاقتران: s(t)=t520t2, t0 موقع جسم يتحرك على خط مستقيم حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(16) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 3 ؟

v(t)=5t440tv(3)=5(3)440(3)=405120=285m/s

(17) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 3 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (إلى اليمين) عندما t = 3 .

(18) ما تسارع الجسم عندما t = 3 ؟

a(t)=20t340a(3)=20(3)340=54040=500m/s2

(19) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

5t440t=05t(t38)=0t=0ort=2

 

يمثل الاقتران: s(t)=3t1+t , t0 موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(20) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 4 ؟

s(t)=3t1+tv(t)=(1+t)(3)(3t)(1)(1+t)2=3(1+t)2v(4)=3(1+4)2=325=0.12m/s

(21) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 4 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (إلى اليمين) عندما t = 4 .

(22) ما تسارع الجسم عندما t = 4 ؟

a(t)=3×2(1+t)(1)(1+t)4=6(1+t)3a(4)=6(1+4)3=6125=0.048m/s2

 

لوح تزلجلوح تزلج: يتحرك رامي في مسار مستقيم على لوح تزلج بحيث يمكن نمذجة موقعه باستعمال الاقتران: s(t) = t2 – 8t + 12  ، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(23) ما سرعة رامي المتجهة بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

v(t)=2t8v(6)=2(6)8=4m/s

(24) ما تسارع رامي بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

a(t)=2a(6)=2m/s2

(25) أجد قيم t التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

يكون رامي في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

2t8=0t=4

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

04 / 12 / 2022

النقاشات