أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المعادلات التفاضلية

المعادلات التفاضلية

أتحقق من فهمي صفحة (92):

أحدد إذا كان الاقتران المعطى حلاً للمعادلة التفاضلية: y′′4y+3y=0 في كل مما يأتي:

y=4ex+5e3x (a)

y=4ex+15e3xy′′=4ex+45e3xy′′4y+3y=4ex+45e3x4(4ex+15e3x)+3(4ex+5e3x)=0

إذن y=4ex+5e3x حل للمعادلة التفاضلية y′′4y+3y=0

y=sinx (b)

y=cosxy′′=sinxy′′4y+3y=sinx4cosx+3sinx=2sinx4cosx0

إذن y=sinx ليس حلاً للمعادلة التفاضلية y′′4y+3y=0


الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية

أتحقق من فهمي صفحة (94):

أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية: dydx=5sec2x32x، ثم أجد الحل الخاص لها الذي يحقق النقطة (0,7).

dydx=5sec2x32xdy=(5sec2x32x)dxdy=(5sec2x32x)dx

الحل العام لهذه المعادلة هو:

y=5tanxx32+C

لإيجاد الحل الخاص نعوض النقطة (0,7) في الحل العام:

7=00+CC=7

الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الذي يحقق النقطة (0,7) هو:

y=5tanxx32++7


حل المعادلات التفاضلية بفصل المتغيرات

أتحقق من فهمي صفحة (96):

أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

dydx=2xy4 (a)

dydx=2xy42xdx=y4dy2xdx=y4dy15y5=x2+C

dydx=2xxey (b)

dydx=2xxeydydx=x(2ey)dy2ey=xdxxdx=12ey×eyeydyxdx=122ey2ey1dyx22=12ln|2ey1|+Cx2=ln|2ey1|+C

dydx=xsinxy (c)

dydx=xsinxyydy=xsinxdxydy=xsinxdx

نجد xsinxdx بالأجزاء:

u=xdv=sinxdxdu=dxv=cosxydy=xsinxdx12y2=xcosxcosxdx12y2=xcosx+sinx+C

sin2xdydx=y2cos2x (d)

sin2xdydx=y2cos2xsin2xdy=y2cos2xdxdyy2=cos2xsin2xdxy2dy=cot2xdxy2dy=(csc2x1)dx1y=cotxx+C1y=x+cotx+C

أتحقق من فهمي صفحة (98):

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل معادلة تفاضلية مما يأتي:

dydx=xy2e2x,y(0)=1 (a)

dy=xy2e2xdxdyy2=xe2xdx

نجد xe2xdx بالأجزاء:

u=xdv=e2xdxdu=dxv=12e2xdyy2=12xe2x12e2xdx

الحل العام هو:

1y=12xe2x14e2x+C

بتعويض (0,1):

1=14+CC=34

الحل الخاص هو:

1y=12xe2x14e2x34

dydx=ycosx,y(π2)=1 (b)

dyy=cosxdx

الحل العام هو: 

dyy=cosxdxln|y|=sinx+C

بتعويض (π2,1)

0=1+CC=1

الحل الخاص:

ln|y|=sinx1


المعادلات التفاضلية والحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (100):

يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالمعادلة التفاضلية: dsdt=stt+1، حيث t الزمن بالثواني، وs موقع الجسيم بالأمتار. أجد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة، علما بأن s(0)=1.

dsdt=stt+1dss=tt+1dtdss=tt+1dtu=t+1du=dt,t=u1tt+1dt=(u1)udu=(u1)u12du=(u32u12)du=25u5223u32+C=25(t+1)5223(t+1)32+C

الموقع bbb لا يمكن أن يكون 0 لأن ln0 غير معرف ولا يمكن أن يكون سالباً لأن s(0)=1 واقتران الموقع متصل، ولذا يمكننا أن نحذف رمز القيمة المطلقة وتعتبر ln|s|=lns بتعريض s=1 عندما t=0 ينتج:

0=2523+CC=415lns=25(t+1)5223(t+1)32+415

نعوض t=3 لنجد s الموقع المطلوب:

lns(3)=645163+415=11615s(3)=e11615

أتحقق من فهمي صفحة (102):

غزالغزلان: يمكن نمذجة معدل تغير عدد الغزلان فـي إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية: dPdt=120000P(1000P)، حيث P عدد الغزلان في الغابة بعد t سنة من بدء دراسة عليها:

(a) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الغزلان في الغابة بعد سنة من بدء الدراسة، علماً بأن عددها عند بدء الدراسة هو 2500 غزال.

dPdt=120000p(1000P)dPP(1000P)=120000dt

بتجزئة الكسر داخل التكامل في الطرف الأيسر:

(11000P+110001000P)dP=120000dt

حل عام:

11000ln|P|11000ln|1000P|=120000t+C20ln|P|20ln|1000P|=t+C20ln|P1000P|=t+C

بتعويض P=2500 عند t=0 ينتج:

C=20ln25001500=20ln5320ln|P1000P|=t+20ln53

(b) بعد كم سنة يصبح عدد الغزلان في الغابة 1800 غزال؟

نعويض P=1800 في المعادلة الأخيرة:

20ln(94)=t+20ln53t=20ln27206

إذن، يصبح عدد الغزلان 1800 غزال بعد 6 سنوات تقريباً من بدء الدراسة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

13 / 02 / 2023

النقاشات