أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المستقيمات في الفضاء

توازي المتجهات

أتحقق من فهمي صفحة (127):

إذا كان: G(7,5,11),H(4,4,4),K(4,5,3),L(7,7,3)، فأحدد إن كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا:

GH,KL (a)

GH=3,1,7KL=3,2,0

نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي c يجعل العبارة GH=c(KL) صحيحة، ونستنتج أن GH,KL غير متوازيين.

GL,HK (b)

GL=0,2,14HK=0,1,7

نلاحظ أن GL=2HK، ونستنتج أن GLHK

أتحقق من فهمي صفحة (129):

المثلثفي المثلث RST المجاور، إذا كان: RS¯=4a,RT¯=6b والنقطة U منتصف RS¯، والنقطة V منتصف RT¯، فأثبت أن ST يوازي UV

UV=UR+RV=12(4a)+12(6b)=3b2aST=SR+RT=4a+6b=2(3b2a)

إذن، ,ST=2UV ومنه المتجهان ST,UV متوازيان.

أتحقق من فهمي صفحة (130):

المثلثيظهر في الشكل المجاور المثلث OAB.

إذا كان: OA=a,OB=b، وكانت النقطة D تقع على OB¯، والنقطة E منتصف AB¯، والنقطة F تقع على AD¯، حيث: OF=25(a+b)، فأثبت أن O، وF، وE تقع على استقامة واحدة. 

OF=25(a+b)a+b=52OF(1)OE=OB+BE=b+12BA=b+12(BO+OA)=b+12(b+a)=12(a+b)a+b=2OE..................2

من العلاقتين (1) و(2) نستنتج أن: 

52OF=2OEOF=45OE

وهذا يعني أن المتجهين OF,OE متوازيان، وبما أنهما ينطلقان من النقطة O نفسها، إذن النقاط O,E,F تقع على استقامة واحدة.


المعادلة المتجهة للمستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (132):

أجد معادلة متجهة للمستقيم l الذي يوازي المتجه: v=1,4,5، ويمر بالنقطة U(0,6,9).

r=r0+tvr=0,6,9+t1,4,5

أتحقق من فهمي صفحة (133):

أجد معادلة متجهة للمستقيم l المار بالنقطتين: N(2,4,3)g،M(3,7,9).

NM=32,7(4),93=1,11,12r=r0+tvr=3,7,9+t1,11,12

أتحقق من فهمي صفحة (136):

تمثل: r=11i^+5j^6k^+t(7i^2j^+5k^) معادلة متجهة للمستقيم l:

(a) أبين أن النقطة التي متجه الموقع لها هو (39i^3j^+14k^) تقع على المستقيم l.

r=(11+7t)i^+(52t)ȷ^+(6+5t)k^

نبحث عن قيمة ل t تحقق:

39i^3ȷ^+14k^=(11+7t)i^+(52t)ȷ^+(6+5t)k^39=11+7tt=43=52tt=414=6+5tt=4

 بما أن للمعادلات الثلاث الحل نفسه (t=4)، فإن القطة التي متجه موقعها 39i^3ȷ^+14k^ وهي النقطة (39,3,14) تقع على المستقيم l لأنها تنتج من تعويض t=4 في معادلته.

(b) أجد متجه الموقع للنقطة التي تقع على هذا المستقيم، وتقابل القيمة: 3-= t.

t=3r=(11+7(3))i^+(52(3))ȷ^+(6+5(3))k^=10i^+11ȷ^21k^

(c) إذا كانت النقطة (v,3v,5v1) تقع على المستقيم l، فما قيمة v؟

متجه الموقع للنقطة vı^3vȷ^+(5v1)k^ه(v,3v,5v1)2^

vi^3vȷ^+(5v1)k^=(11+7t)1^+(52t)ȷ^+(6+5t)k^v=11+7t(1)3v=52t(2)5v1=6+5t(3)(1)×3+(2)0=38+19tt=2v=3

تتحقق من أن v=3,t=2 تحققان المعادلة (3)

5(3)1=6+5(2)16=16

إذن، قيمة v التي تجعل النقطة (v,3v,5v1) واقعة على المستقيم l هي: v=3


المستقيمات المتوازية والمتقاطعة والمتخالفة

أتحقق من فهمي صفحة (136):

إذا كانت: r=3,7,9+t1,11,12 معادلة متجهة للمستقيم l1، وكانت: r=30,6,30+u4,6,3 معادلة متجهة للمستقيم l2، ، فأحدد إذا كان المستقيمان: l2,l1 متوازيين، أو متقاطعين، أو متخالفين، ثم أجد إحداثيات نقطة تقاطعهما إذا كانا متقاطعين.

 اتجاه المستقيم l1 هو v1=1,11,12 

اتجاه المستقيم l2 هو v2=4,6,3

وبما أنه لا يوجد عدد حقيقي k بحيث v1=kv2 فإن المستقيمين غير متوازيين.

نساوي r من معادلتي المستقيمين:

3,7,9+t1,11,12=30,6,30+u4,6,33+t=30+4ut4u=33(1)7+11t=66u11t+6u=13(2)912t=30+3u12t+3u=39(3)3×(1)+2×(2)25t=125t=5,u=7

نتحقق من أن u=7,t=5 تحققان المعادلة (3)

12(5)+3(7)=?3939=39

بما أن قيمة t وقيمة u حققتا المعادلات الثلاث، فإن المستقيمين متقاطعان.

لإيجاد إحداثيات نقطة التقاطع نعوض t=5 في معادلة l1:

r=3,7,951,11,12=2,48,51

إذن، يتقاطع المستقيمان في النقطة (2,48,51) 

أتحقق من فهمي صفحة (138):

عرض جوي: أقلعت طائرة من موقع إحداثياته: (0,7,0). وفي الوقت نفسه، أقلعت طائرة ثانية من موقع إحداثياته: (2,0,0). وبعد التحليق مدة قصيرة في مسارين مستقيمين، أصبحت الطائرة الأولى عند الموقع الذي إحداثياته: (8,15,16)، وأصبحت الطائرة الثانية عند الموقع الذي إحداثياته: (22,24,48). هل خطا سير الطائرتين متوازيان، أم متقاطعان، أم متخالفان؟

اتجاه الطائرة الأولى هو اتجاه الطائرة الأولى هو v1=80,157,160=8,8,16

ويمكن تبسيطه بالقسسة على 8 ليصبح: 1,1,2

معادلة مسار الأولى: r=0,7,0+t1,1,2

اتجاه الثانية هو v2=22(2),240,480=24,24,48

ويمكن تبسيطه بالقسمة على 24 دون تغيير اتجاهه ليصبح: 1,1,2

معادلة مسار الثانية: r=2,0,0+u1,1,2

نلاحظ أن المسارين متوازيان لأن لهما الاتجاه نفسه.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

15 / 02 / 2023

النقاشات