أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

الضرب القياسي

الضرب القياسي للمتجهات في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (144):

أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين في كل مما يأتي:

v=4,8,3,w=3,7,2 (a)

vw=4(3)+8(7)3(2)=12+566=38

m=3i^+5j^k^,n=12i^+6j^8k^ (b)

mn=3(12)+5(6)1(8)=36+30+8=74


الزاوية بين متجهين في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (146):

أجد قياس الزاوية θ بين المتجه u والمتجه W في كل مما يأتي، مقرباً الناتج إلى أقرب عشـر درجة:

u=3i^+5j^4k^,w=4i^+2j^3k^ (a)

bbb|u|=9+25+16=50|w|=16+4+9=29uw=3(4)+5(2)4(3)=12+10+12=10θ=cos1(uw|u||w|)=cos1(1050×29)=cos1(101450)74.8

u=2,10,6,w=3,15,9 (b)

|u|=4+100+36=140|w|=9+225+81=315uw=2(3)10(15)+6(9)=615054=210θ=cos1(uw|u||w|)=cos1(210140×315)=cos1(21044100)=cos1(1)=180


الزاوية بين مستقيمين في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (147):

إذا كانت: r=(321)+t(251) معادلة متجهة للمستقيم l1، وكانت: r=(530)+u(103) معادلة متجهة للمستقيم l2، فأجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيم l1 والمستقيم l2 إلى أقرب درجة. 

اتجاه المستقيم l1 هو v=2,5,1 واتجاه المستقيم l2 هو u=1,0,3

|v|=4+25+1=30|u|=1+0+9=10vu=1(2)+0(5)3(1)=2+3=5θ=cos1(uv|u||v|)=cos1(510×30)=cos1(5300)73

إذن، قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين l2,l1 هو 73 تقريباً.


إيجاد مساحة المثلث باستعمال المتجهات

أتحقق من فهمي صفحة (149):

أجد مساحة المثلث EFG الذي إحداثيات رؤوسه هي:

E(2,1,1),F(5,1,7),G(6,3,1).

GF=1,4,6|GF|=1+16+36=53GE=4,4,2|GE|=16+16+4=6GFGE=1(4)+4(4)+6(2)=4+1612=8

ليكن قياس الزاوية EGF هو θ، إذن:

θ=cos1(GFGE|GF||GE|)=cos1(8653)79.4A=12|GF|×|GE|sinθ12×653sin79.421.5

ويمكن إيجاد sinθ من معرفتنا بقيمة cosθ من دون أيجاد زاوية θ كما يأتي:

cosθ=4353sinθ=1(4353)2=47716477=461353A=12×653×461353=46121.5


مسقط العمود على مستقيم من نقطة خارجه

أتحقق من فهمي صفحة (151):

إذا كانت: r=16i^+11j^3k^+t(5i^+7j^3k^) معادلة متجهة للمستقيم l، والنقطة P(2,0,103) غير واقعة على المستقيم l، فأجيب عن السؤالين الآتيين:

(a) أحدد مسقط العمود من النقطة P على المستقيم l

اتجاه المستقيم l المعطى هو: v=5,7,3

افرض أن مسقط النقطة P على l النقطة F، فيكون متجه موقعها هو:

OF=(16+5t)ı^+(11+7t)ȷ^(3+3t)k^ 

ويكون العمود من P على l هو PF¯ حيث:

PF=OFOP=(16+5t)1^+(11+7t)ȷ^(3+3t)k^(2i^+103k^)PF=(14+5t)i^+(11+7t)ȷ^(193+3t)k^

ولأن المتجهين v,PF متعامدان فإن PFv=0 

5(14+5t)+7(11+7t)3(1933t)=0t=2OF=(16+5(2))i^+(11+7(2))j^(3+3(2))k^=6i^3j^+3k^

إذن مسقط العمود من النقطة P على المستقيم l هو النقطة F(6,3,3)

(b) أجد البعد بين النقطة P والمستقيم l.

PF=(62)2+(30)2+(3103)2=2263


استعمال المتجهات لتحديد قياسات في أشكال ثلاثية الأبعاد

أتحقق من فهمي صفحة (154):

(a) أجد قياس EDB في الهرم المبين في المثال السابق.

DE=7,8,2|DE|=49+64+4=117DB=8,4,8|DB|=64+16+64=12DEDB=7(8)+8(4)+2(8)=72θ=cos1(DEDB|DE||DB|)=cos1(7212117)=cos1(6117)56.3

(b) أجد حجم الهرم.

AB=82+(2)2+(2)2=72

ارتفاع الهرم هو طول العمود المرسوم من الرأس E إلى قاعدته وهو EM، حيث M هي نقطة منتصف أحد قطري الفاعدة المربعة: M=(1+92,172,1+32)=(5,3,1)

EM=(3)2+(6)2+(6)2=9

حجم الهرم يساوي ثلث مساحة قاعدته في ارتفاعه.

V=13(72)2(9)=72(3)=216

إذن، حجم الهرم يساوي 216 وحدة مربعة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

16 / 02 / 2023

النقاشات