أتحقق من فهمي

تطبيقات القيم القصوى

تصنيف القيم الحرجة باستعمال اختبار المشتقة الثانية

أتحقق من فهمي صفحة (108)

إذا كان: f(x) = x³ – 2x² – 4x + 5 ، فاستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للاقتران f .

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-4x-4\\ & 3x^2-4x-4=0\\ & (3x+2)(x-2)=0\\ & x=-\frac{2}{3} \text{or }x=2\end{array}$

القيم الحرجة هي: x = 2  و  $\frac{2}{3}$- = x     

$\begin{array}{rl}& f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-4\\ & f^{\prime \prime }(-\frac{2}{3})=6(-\frac{2}{3})-4=-8<0\\ & f^{\prime \prime }\left(2\right)=6\left(2\right)-4=8>0\end{array}$

إذن توجد قيمة عظمى محلية عندما: $\frac{2}{3}$- = x  

وهي:   

$f(-\frac{2}{3})=\frac{-8}{27}-\frac{8}{9}+\frac{8}{3}+5=\frac{175}{27}$

إذن توجد قيمة عظمى محلية عندما: x = 2

وهي:   

$f\left(2\right)=8-2\left(4\right)-4\left(2\right)+5$

إيجاد أكبر مساحة ممكنة

أتحقق من فهمي صفحة (110)

بنى نجار سقفاً خشبياً لحظيرة حيوانات. وكان السقف على شكل مستطيل محيطه 54 m . أجد أكبر مساحة ممكنة لسطح الحظيرة.

مساحة المستطيل:

A = xy

محيط المستطيل:

P = 2x + 2y

$\begin{array}{rl}& 54=2x+2y\\ & 27=x+y\to y=27-x\\ & A=xy\\ & A\left(x\right)=x(27-x)\\ & =27x-x^2\\ & A^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=27-2x\\ & 27-2x=0\to x=\frac{27}{2}\end{array}$

توجد قيمة حرجة هي: $\frac{27}{2}$ x =

$A^{\prime \prime }\left(x\right)=-2\to A^{\prime \prime }\left(\frac{27}{2}\right)=-2<0$

إذن توجد قيمة عظمى محلية عندما  $\frac{27}{2}$x =  وتكون أكبر مساحة ممكنة لسطح الحظيرة هي:

$A\left(\frac{27}{2}\right)=\frac{729}{4}=182.25{\mathrm{m}}^2$