حمّل تطبيق منهاجي الجديد

منهاجي صار أسرع من خلال التطبيق

  أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

القيم القصوى والتقعر

القيم القصوى المحلية والمطلقة

أتحقق من فهمي صفحة 96

أجد القيم القصوى المحلية والقيم القصوى المطلقة (إن وجدت) للاقتران المعطى تمثيله البياني في كلّ ممّا يأتي:

القيم القصوى المحلية والقيم القصوى المطلقة

(a) ليس للاقتران f قيم قصوى مطلقة.

للاقتران قيمة عظمى محلية عند x = 0 هي f (0) = 0

وله قيمة صغرى محلية عند x = 2 هي f (2) = -4  

(b) للاقتران قيمة عظمى مطلقة عند x = 1 و x = -1 هي f (begin mathsize 20px style plus-or-minus end style1) = 1

وله قيمة صغرى محلية ومطلقة عند x = 0 هي f (0) = 0  


القيم القصوى المطلقة على الفترات المغلقة

أتحقق من فهمي صفحة 102

أجد القيمة العظمى المطلقة والقيمة الصغرى المطلقة (إن وجدت) لكلّ اقتران ممّا يأتي في الفترة المعطاة:

(a) begin mathsize 20px style alpha end style

begin mathsize 20px style alpha end style

نقارن قيم الاقتران عند النقط الحرجة وعند طرفي مجاله.

وتكون قيم x الحرجة هي: x = 0 , x = 4

begin mathsize 20px style alpha end style

للاقتران قيمة صغرى مطلقة عند x = -3 هي f (-3) = -76

وله قيمة عظمى محلية ومطلقة عند x = 0 هي f (0) = 5  

(b) begin mathsize 20px style alpha end style

begin mathsize 20px style alpha end style

f (x) لا تساوي صفراً لأي قيمة في (-8, 8)، وهي غير موجودة عند x = 0 وهذه هي القيمة الحرجة فقط.

begin mathsize 20px style alpha end style

للاقتران قيمة صغرى مطلقة عند x = -8 هي f (-8) = -2

وله قيمة عظمى محلية ومطلقة عند x = 2 هي f (8) = 2  

(c) begin mathsize 20px style alpha end style

أجد القيم الحرجة في الفترة (0, 2π)

begin mathsize 20px style alpha end style

وتكون قيم  الحرجة هي: begin mathsize 20px style alpha end style

أجد قيم الاقتران عند القيم الحرجة وطرفي مجاله.

begin mathsize 20px style alpha end style

للاقتران قيمة صغرى محلية ومطلقة عند x = π هي f (π) = -1

وله قيمة عظمى محلية ومطلقة عند begin mathsize 20px style alpha end style هي begin mathsize 20px style alpha end style


إيجاد القيم القصوى المحلية

أتحقق من فهمي صفحة 105

أجد القيم القصوى المحلية (إن وجدت) للاقتران:

begin mathsize 20px style alpha end style

للاقتران قيمة حرجة وحيدة هي: x = 0

بما أن إشارة المشتقة الأولى تغيرت من السالب إلى الموجب عند هذه القيمة، لذا يكون للاقتران قيمة صغرى محلية هي: f (0) = -1

 

أتحقق من فهمي صفحة 106

أجد القيم القصوى المحلية (إن وجدت) للاقتران: begin mathsize 20px style alpha end style

begin mathsize 20px style alpha end style

begin mathsize 20px style alpha end style  لا تساوي صفراً لأيّ عدد حقيقي x لكن begin mathsize 20px style alpha end style غير موجودة عند x = 3 . إذن القيمة الحرجة الوحيدة هي: x = 3

الاقتران f متزايد على R ولا يوجد له قيم قصوى محلية ولا مطلقة. النقطة (3 , 0) نقطة حرجة لكنها ليست نقطة قيمة قصوى لعدم تغيّر إشارة المشتقة حولها.


أتحقق من فهمي صفحة 111

أجد فترات التقعّر للأعلى وللأسفل ونقاط الانعطاف (إن وجدت) لمنحنى كل اقتران ممّا يأتي:

(a) begin mathsize 20px style alpha end style

begin mathsize 20px style alpha end style

إذن منحنى f (x) مقعر للأعلى في (begin mathsize 20px style alpha end style) و (begin mathsize 20px style alpha end style)، ومقعر للأسفل في (begin mathsize 20px style alpha end style) وله نقطتا انعطاف هما (begin mathsize 20px style alpha end style) و (2, 0).

 

(b) begin mathsize 20px style alpha end style

begin mathsize 20px style alpha end style

begin mathsize 20px style alpha end style لا تساوي صفراً لأي عدد حقيقي x ، لكن begin mathsize 20px style alpha end style غير موجود عند x = 1

إذن منحنى f (x) مقعر للأعلى في (-∞, 1)، ومقعر للأسفل في (1, ∞) ولا توجد نقاط انعطاف مع أن المنحنى غيّر من اتجاه تقعره عند x = 1 وذلك لأنها خارج مجال f (x) .


اختبار المشتقة الثانية

أتحقق من فهمي صفحة 113

إذا كان  f (x) = xex فأستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للاقتران f .

begin mathsize 20px style alpha end style

القيمة الحرجة هي x = -1

begin mathsize 20px style alpha end style

إذن توجد قيمة صغرى محلية للاقتران f هي f (-1) = -e-1


 

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

05 / 12 / 2022

النقاشات