الأعداد المركبة

أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

الأعداد المركبة

الوحدة التخيلية والعدد التخيلي

أتحقق من فهمي صفحة 141

أجد قيمة الجذر الرئيس في كلّ ممّا يأتي بدلالة i :

(a) $\sqrt{- 75}$

$\sqrt{- 75} = \sqrt{- 1 \times 25 \times 3} = \sqrt{- 1} \times \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5 i \sqrt{3}$

(b) $\sqrt{- 49}$

$\sqrt{- 49} = \sqrt{- 1 \times 49} = \sqrt{- 1} \times \sqrt{49} = 7 i$

ضرب الأعداد التخيلية

أتحقق من فهمي صفحة 142

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي في أبسط صورة مفترضاً أنّ :

(a) $\sqrt{- 27} \times \sqrt{- 48}$

$\begin{aligned} \sqrt{- 27} \times \sqrt{- 48} & = \sqrt{- 1 \times 27} \times \sqrt{- 1 \times 48} \\ = i \sqrt{9 \times 3} \times i \sqrt{16 \times 3} \\ = i^{2} \sqrt{9 \times 3 \times 16 \times 3} \\ = 36 i^{2} = - 36 \end{aligned}$

(b) $\sqrt{- 50} \times - 4 i$

$\begin{aligned} \sqrt{- 50} \times - 4 i & = \sqrt{- 1 \times 50} \times (- 4 i) \\ = 5 i \sqrt{2} \times (- 4 i) = - 20 \sqrt{2} i^{2} = 20 \sqrt{2} \end{aligned}$

(c) $i^{2021}$

$i^{2021} = {(i^{2})}^{1010} \times i = (- 1)^{1010} \times i = i$

خاصية المساواة للأعداد المركبة

أتحقق من فهمي صفحة 144

أجد قيمة x ، وقيمة y الحقيقيتين اللتين تجعلان المعادلة: $x + 5 + (4 y - 9) i = 12 - 5 i$ صحيحة.

$\begin{aligned} x + 5 + (4 y - 9) i = 12 - 5 i & \to x + 5 = 12, 4 y - 9 = - 5 \\ \to x = 7, y = 1 \end{aligned}$

تمثيل العدد المركب ومرافقه بيانياً

أتحقق من فهمي صفحة 145

أمثّل العدد المركب ومرافقه بيانياً في المستوى المركب في كلّ ممّا يأتي:

(a) $z = 2 + 7 i$

$z = 2 + 7 i, \bar{z} = 2 - 7 i$

(b) $z = - 3 - 2 i$

$z = - 3 - 2 i, \bar{z} = - 3 + 2 i$

(c) $z = - 3 i$

$z = - 3 i, \bar{z} = 3 i$

مقياس العدد المركب

أتحقق من فهمي صفحة 146

أجد مقياس كل عدد مركب ممّا يأتي:

(a) $z = - 3 - 6 i \sqrt{2}$

$z = - 3 - 6 i \sqrt{2} \to | z | = \sqrt{(- 3)^{2} + (- 6 \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{81} = 9$

(b) $z = - 2 i$

$z = - 2 i \to | z | = \sqrt{(0)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{4} = 2$

(c) $z = 4 + \sqrt{- 20}$

$\begin{aligned} z = 4 + \sqrt{- 20} = 4 + \sqrt{- 1} \times \sqrt{20} = 4 + i \sqrt{20} \\ \to | z | = \sqrt{(4)^{2} + (\sqrt{20})^{2}} = \sqrt{36} = 6 \end{aligned}$

سعة العدد المركب

أتحقق من فهمي صفحة 150

أجد سعة كل من الأعداد المركبة الآتية مقرباً إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين:

(a) $z = 8 + 2 i$

$\begin{aligned} z = 8 + 2 i \\ A r g (z) = t a n^{- 1} (\frac{2}{8}) \approx 0 .24 \end{aligned}$

(b) $z = - 5 + 12 i$

$\begin{aligned} z = - 5 + 12 i \\ A r g (z) = π - t a n^{- 1} (\frac{12}{5}) \approx 1 .97 \end{aligned}$

(c) $z = - 2 - 3 i$

$\begin{aligned} z = - 2 - 3 i \\ A r g (z) = - (π - t a n^{- 1} (\frac{3}{2})) \approx - 2 .16 \end{aligned}$

(d) $z = 8 - 8 i \sqrt{3}$

$\begin{aligned} z = 8 - 8 i \sqrt{3} \\ A r g (z) = - t a n^{- 1} (\frac{8 \sqrt{3}}{8}) \approx - \frac{π}{3} \end{aligned}$

الصورة المثلثية للعدد المركب

أتحقق من فهمي صفحة 152

أكتب العدد المركب في كلّ ممّا يأتي بالصورة المثلثية:

(a) $| z | = 4 \sqrt{2}, Arg (z) = - \frac{3 π}{4}$

$\begin{aligned} | z | = 4 \sqrt{2}, A r g (z) = - \frac{3 π}{4} \\ z = r (c o s θ + i s i n θ) = 4 \sqrt{2} (c o s (- \frac{3 π}{4}) + i s i n (- \frac{3 π}{4})) \end{aligned}$

(b) $z = - 4 - 4 i$

$\begin{aligned} z = - 4 - 4 i \\ \to r = | z | = \sqrt{(- 4)^{2} + (- 4)^{2}} = 4 \sqrt{2} \\ A r g (z) = - (π - t a n^{- 1} (\frac{4}{4})) \approx - \frac{3 π}{4} \\ z = r (c o s θ + i s i n θ) = 4 \sqrt{2} (c o s (- \frac{3 π}{4}) + i s i n (- \frac{3 π}{4})) \end{aligned}$

(c) $z = 2 i$

$\begin{aligned} z = 2 i \\ \to r = | z | = \sqrt{(0)^{2} + (2)^{2}} = 2 \\ A r g (z) = \frac{π}{2} \\ z = r (c o s θ + i s i n θ) = 2 (c o s (\frac{π}{2}) + i s i n (\frac{π}{2})) \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

24 / 11 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025