مشتقتا الضرب والقسمة

إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

مشتقتا الضرب والقسمة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f (x) = 2 x {(1 + 3 x^{2})}^{3}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (2 x) \times 3 {(1 + 3 x^{2})}^{2} (6 x) + {(1 + 3 x^{2})}^{3} (2) \\ = 36 x^{2} {(1 + 3 x^{2})}^{2} + 2 {(1 + 3 x^{2})}^{3} \\ = {(1 + 3 x^{2})}^{2} (42 x^{2} + 2) \end{aligned}$

(2) $f (x) = \frac{x - 2}{x + 2}$

$f^{'} (x) = \frac{(x + 2) (1) - (x - 2) (1)}{(x + 2)^{2}} = \frac{4}{(x + 2)^{2}}$

(3) $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 1} + 4 x^{3}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 12 x^{2} \\ = \frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x^{4} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 12 x^{2} \\ = \frac{x^{4} + 3 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 12 x^{2} \end{aligned}$

(4) $f (x) = {(1 - x^{2})}^{4} (2 x + 6)^{3}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = {(1 - x^{2})}^{4} \times 3 (2 x + 6)^{2} (2) + (2 x + 6)^{3} \times 4 {(1 - x^{2})}^{3} (- 2 x) \\ = 6 {(1 - x^{2})}^{4} (2 x + 6)^{2} - 8 x (2 x + 6)^{3} {(1 - x^{2})}^{3} \\ = 2 {(1 - x^{2})}^{3} (2 x + 6)^{2} (3 - 24 x - 11 x^{2}) \end{aligned}$

(5) $f (x) = \frac{3 x + 5}{(x + 1)^{2}}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(x + 1)^{2} (3) - (3 x + 5) (2) (x + 1)}{(x + 1)^{4}} \\ = \frac{- 3 x^{2} - 10 x - 7}{(x + 1)^{4}} \end{aligned}$

(6) $f (x) = (5 x^{2} + 4 x - 3) (2 x^{2} - 3 x + 1)$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (5 x^{2} + 4 x - 3) (4 x - 3) + (2 x^{2} - 3 x + 1) (10 x + 4) \\ = 40 x^{3} - 21 x^{2} - 26 x + 13 \end{aligned}$

(7) $f (x) = (3 x^{5} - x^{2}) (x - \frac{5}{x})$

بفك الأقواس:

$\begin{aligned} f (x) = 3 x^{6} - 15 x^{4} - x^{3} + 5 x \\ f^{'} (x) = 18 x^{5} - 60 x^{3} - 3 x^{2} + 5 \end{aligned}$

أو بتطبيق قاعدة مشتقة ضرب اقترانين:

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (3 x^{5} - x^{2}) (1 + \frac{5}{x^{2}}) + (x - \frac{5}{x}) (15 x^{4} - 2 x) \\ = 18 x^{5} - 60 x^{3} - 3 x^{2} + 5 \end{aligned}$

(8) $f (x) = \frac{5 x^{2} - 1}{2 x^{3} + 3}$

$f^{'} (x) = \frac{(2 x^{3} + 3) (10 x) - (5 x^{2} - 1) (6 x^{2})}{{(2 x^{3} + 3)}^{2}} = \frac{- 10 x^{4} + 6 x^{2} + 30 x}{{(2 x^{3} + 3)}^{2}}$

(9) $f (x) = \frac{1}{x - 4}$

$f^{'} (x) = \frac{- 1}{(x - 4)^{2}}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

14 / 12 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025