مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

التوزيع الطبيعي

(41) أكتشف الخطأ: قالت عبير: "إذا كان: $X ~ N (6.4, 0.09)$ ، فإن %95 من البيانات تقع بين 6.22 و6.58". أكتشف الخطأ في قول عبير، ثم أصححه.

تقع %95 من البيانات بين $μ + 2 σ, μ - 2 σ$ (حسب القاعدة التجريبية)، وهذا يعني الفترة من 5.8 إلى 7 وليس الفترة التي ذكرتها عبير.

الخطأ الذي ارتكبته عبير، هو أنها اعتبرت $σ = 0.09$ والصواب هو أن $σ = \sqrt{0.09} = 0.3$ .

(42) تبرير: إذا كان $P (X > 35) = 0.025, P (X < 15) = 0.1469, X ~ N (μ, σ^{2})$ ، فأجد قيمة كل من $μ, σ$ ، مبرراً إجابتي.

$P (X < 15) = P (Z < \frac{15 - μ}{σ}) = 0.1469$

نفرض أن $\frac{15 - μ}{σ} = z$ ، فيكون $P (Z < z) = 0.1469$

الاحتمال المعطى (0.1469) يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة z وهو أقل من 0.5، إذن: z سالبة

$\begin{aligned} \Rightarrow P (Z < - z) = P (Z > z) \\ 0.1469 = 1 - P (Z < z) \\ P (Z < z) = 1 - 0.1469 = 0.8531 \Rightarrow z = 1.05 \end{aligned}$

إذن، قيمة z التي تحقق الاحتمال المعطى هي 1.05-

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{15 - μ}{σ} = - 1.05 \Rightarrow 15 - μ = - 1.05 σ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ P (X > 35) = P (Z > \frac{35 - μ}{σ}) = 0.025 \end{aligned}$

نفرض أن $\frac{35 - μ}{σ} = Z$ ، فيكون $P (Z > z) = 0.025$

الاحتمال المعطى (0.025) يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة z وهو أقل من 0.5، إذن: z موجبة

$\begin{aligned} \Rightarrow P (Z < z) = 1 - P (Z > z) = 1 - 0.025 = 0.975 \\ \Rightarrow z = 1.96 \Rightarrow \frac{35 - μ}{σ} = 1.96 \Rightarrow 35 - μ = 1.96 σ . . . . . . . . (2) \\ (2) - (1) : 20 = 3.01 σ \Rightarrow σ \approx 6.64, μ \approx 22 \end{aligned}$

(43) تبرير: تقدم 100000 طالب لاختبار دولي، وبلغ عدد الطلبة الذين زادت علاماتهم في الاختبار على %90 نحو 10000 طالب، منهم 5000 طالب أحرزوا علامات أكثر من %95. إذا كانت علامات الطلبة المتقدمين تتبع توزيعاً طبيعياً، فأجد الوسط الحسابي، والانحراف المعياري للعلامات.

$P (X > 90) = P (Z > \frac{90 - μ}{σ}) = \frac{10000}{100000} = 0.1$

نفرض أن $\frac{90 - μ}{σ} = Z$ ، فيكون $P (Z > z) = 0.1$

الاحتمال المعطى (0.1) يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة z وهو أقل من 0.5، إذن: z موجبة

$\begin{aligned} \Rightarrow P (Z < z) = 1 - P (Z > z) = 1 - 0.1 = 0.9 \\ \Rightarrow z = 1.28 \Rightarrow \frac{90 - μ}{σ} = 1.28 \Rightarrow 90 - μ = 1.28 σ . . . . . . . (1) \\ P (X > 95) = P (Z > \frac{95 - μ}{σ}) = \frac{5000}{100000} = 0.05 \end{aligned}$

نفرض أن $\frac{95 - μ}{σ} = z$ ، فيكون $P (Z > z) = 0.05$

الاحتمال المعطى (0.05) يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة z وهو أقل من 0.5، إذن: z موجبة

$\begin{aligned} \Rightarrow P (Z < z) & = 1 - P (Z > z) \\ = 1 - 0.05 = 0.95 \\ \Rightarrow z = 1.64 & \Rightarrow \frac{95 - μ}{σ} = 1.64 \Rightarrow 95 - μ = 1.64 σ . . . . . (2) \end{aligned} (2) - (1) : 5 = 0.36 σ \Rightarrow σ \approx 13.89, μ \approx 72.22$

(44) تحد: أجرت باحثة تفاعلاً كيميائياً بصورة متكررة، فوجدت أن الزمن اللازم لحدوث التفاعل يتبع توزيعاً طبيعياً، وأن %5 من التجارب يلزمها أكثر من 13 دقيقة لحدوث التفاعل، وأن %12 منها تتطلب أقل من 10 دقائق لحدوث التفاعل. أقدر الوسط الحسابي والانحراف المعياري لزمن التفاعل.

$P (X > 13) = P (Z > \frac{13 - μ}{σ}) = 0.05$

نفرض أن $\frac{13 - μ}{σ} = Z$ ، فيكون $P (Z > z) = 0.05$

الاحتمال المعطى (0.05) يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة z وهو أقل من 0.5، إذن: z موجبة

$\begin{aligned} \Rightarrow P (Z < z) = 1 - P (Z > z) = 1 - 0.05 = 0.95 \\ \Rightarrow z = 1.64 \Rightarrow \frac{13 - μ}{σ} = 1.64 \Rightarrow 13 - μ = 1.64 σ . . . . . . (1) \\ P (X < 10) = P (Z < \frac{10 - μ}{σ}) = 0.12 \end{aligned}$

نفرض أن $\frac{10 - μ}{σ} = Z$ ، فيكون $P (Z < z) = 0.12$

الاحتمال المعطى (0.12) يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة z وهو أقل من 0.5، إذن: z سالبة

$\begin{array}{r} \Rightarrow P (Z < - z) = 1 - P (Z < z) \\ 0.12 = 1 - P (Z < z) \\ \Rightarrow P (Z < z) = 0.88 \Rightarrow z = 1.17 \end{array}$

إذن، قيمة z التي تحقق الاحتمال المعطى $P (Z < z) = 0.12$ هي $z = - 1.17$

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{10 - μ}{σ} = - 1.17 \Rightarrow 10 - μ = - 1.17 σ . . . . . . . . . . . (2) \\ (1) - (2) : 3 = 2.81 σ \Rightarrow σ \approx 1.07, μ \approx 11.25 \end{aligned}$

تبرير: يبين الشكل المجاور منحنى التوزيع الطبيعي للمتغير العشوائي X الذي وسطه الحسابي 79، وتباينه 144. إذا كان: $P (79 - a \leq X \leq 79 + b) = 0.6463$ وكان: $P (X \geq 79 + b) = 2 P (X \leq 79 - a)$ فأجد كلاً مما يأتي، مبرراً إجابتي:

(45) مساحة المنطقة المظللة.

المساحة الكلية تحت المنحى هي %100

المساحة تحت المنحنى بين القيمتين $79 - a, 79 + b$ هي %64.63

إذن، المساحة تحت المنحنى خارج القيمتين $79 - a, 79 + b$ هي:

$100 % - 64.63 % = 35.37 %$

وهي تمثل منطقتين إحداهما مساحتها ضعف الأخرى (حسب المعطى)، فتكون مساحة المنطقة المظللة تساوي $\frac{35.37 %}{3} = 11.79 %$

أو نكتب:

$\begin{aligned} P (79 - a \leq X \leq 79 + b) = P (X \leq 79 + b) - P (X \leq 79 - a) \\ \Rightarrow P (X \leq 79 + b) - P (X \leq 79 - a) = 0.6463 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ P (X \geq 79 + b) = 2 P (X \leq 79 - a) \end{aligned} \begin{aligned} \Rightarrow 1 - P (X < 79 + b) = 2 P (X \leq 79 - a) \\ \Rightarrow P (X < 79 + b) + 2 P (X \leq 79 - a) = 1 . . . . . . . . . (2) \\ (2) - (1) \Rightarrow 3 P (X \leq 79 - a) = 0.3537 \\ \Rightarrow P (X \leq 79 - a) = 0.1179, P (X \geq 79 + b) = 0.2358 \end{aligned}$

إذن، مساحة المنطقة المظللة تساوي: $P (X \leq 79 - a) = 0.1179$

(46) قيمة الثابت b.

وجدنا في السؤال السابق أن:

$\begin{aligned} P (X \geq 79 + b) = 0.2358 \\ \Rightarrow P (Z \geq \frac{79 + b - 79}{12}) = 0.2358 \\ \Rightarrow P (Z \geq \frac{b}{12}) = 0.2358 \end{aligned}$

نفرض أن $\frac{b}{12} = z$ ، فيكون:

$\begin{matrix} P (Z \geq z) = 0.2358 \\ \Rightarrow P (Z < z) = 1 - 0.2358 = 0.7642 \\ \Rightarrow z = 0.72 \Rightarrow \frac{b}{12} = 0.72 \Rightarrow b = 8.64 \end{matrix}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

17 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025