اختبار نهاية الوحدة

اختبار نهاية الوحدة

التكامل

أختار رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

(1) قيمة x31x2 هي:

x221x+C (a

x22+1x+C (b

x21x+C (c

x2+1x+C (d

x31x2dx=(x3x21x2)dx=(xx2)dx=12x2+x1+C=12x2+1x+Cb

(2) إذا كان: 02kxdx=6 فإن قيمة الثابت k:

1 (a

2 (b

3 (c

4 (d

02kxdx=6k2x2|02=6k2(2)2k2(0)2=62k=6k=3c

(3) قيمة: 03(x2+3x)dx هي:

334 (a

2114 (b

412 (c

2212 (d

03(x2+3x)dx=(13x3+32x2)|03=(13(3)3+32(3)2)(13(0)3+32(0)2)=92(c)

(4) قيمة: 02e2x هي:

e41 (a

e42 (b

2e42 (c

12e412 (d

02e2xdx=12e2x|02=12e2(2)12e2(0)=12e412d

(5) قيمة: 141x هي:

2- (a

716 (b

12 (c

2 (d

141xdx=14x12dx=2x12|14=2x|14=2421=2d

(6) التكامل المحدود الذي يمكن عن طريقه إيجاد المساحة بين منحنى الاقتران: f(x)=4xx2 والمحور x هو:

40(4xx2)dx (a

04(4xx2)dx (b

10(4xx2)dx (c

01(4xx2)dx (d

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الآتية:

f(x)=04xx2=0x(4x)=0x=0,x=4

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [0,4]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(1)=4(1)(1)2=3>0

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [0,4]

والتكامل المحدود الذي يمكن عن طريقه إيجاد المساحة المطلوبة هو 04(4xx2)dx

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

3x1/2dx (7)

3x12dx=6x12+C

(8x10x2)dx (8)

(8x10x2)dx=4x2103x3+C

5x3dx (9)

5x3dx=5x3dx=52x2+C=52x2+C

x21x3dx (10)

x21x3dx=x21x13dx=(x2x131x13)dx=(x53x13)dx=38x83+32x23+C=38x83+32x23+C

(5x22e7x)dx (11)

(5x22e7x)dx=53x327e7x+C

(2x+3e4x+5)dx (12)

(2x+3e4x+5)dx=x2+34e4x+5+C

x262xdx (13)

x262xdx=(x22x62x)dx=(12x3x)dx=14x23ln|x|+C

1(x1)3dx (14)

1(x1)3dx=(x1)3dx=12(x1)2+C=12(x1)2+C

exex+4dx (15)

exex+4dx=ln|ex+4|+C

2xex21dx (16)

2xex21dxu=x21dudx=2xdx=du2x2xex21dx=2xeu×du2x=eudu=eu+C=ex21+C

4ex(3+e2x)dx (17)

4ex(3+e2x)dx=(12ex+4e3x)dx=12ex+43e3x+C

1+x(4+2x+x2)8dx (18)

1+x(4+2x+x2)8dxu=4+2x+x2dudx=2+2xdx=du2+2x1+x(4+2x+x2)8dx=1+xu8×du2+2x=1+xu8×du2(1+x)=12u8du=114u7+C=114(4+2x+x2)7+C=114(4+2x+x2)7+C

xsin(3+x2)dx (19)

xsin(3+x2)dxu=3+x2dudx=2xdx=du2xxsin(3+x2)dx=xsinu×du2x=12sinudu=12cosu+C=12cos(3+x2)+C

(3sin3x4cosx)dx (20)

(3sin3x4cosx)dx=cos3x4sinx+C

(xsin(7x+2))dx (21)

(xsin(7x+2))dx=1xdxsin(7x+2)dx=12x2+17cos(7x+2)+C

(e3xe3x)dx (22)

(e3xe3x)dx=13e3x+13e3x+C

215xdx (23)

215xdx=25(5)15xdx=25515xdx=25ln|15x|+C

(24) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: dydx=4x2 فأجد قاعدة العلاقة، علماً بان منحناها يمر بالنقطة (0,3).

y=(4x2)dx=2x22x+C

منحنى الاقتران يمر بالنقطة (0,3) إذن:

3=2(0)22(0)+CC=3y=2x22x+3

(25) الإيراد الحدي: يمثل الاقتران: R(x)=4x1.2x2 الإيراد الحدي (بالدينار) لكل قطعة تباع في إحدى الشركات، حيث x عدد القطع المبيعة، و(R(x إيراد بيع x قطعة بالدينار. أجد اقتران الإيراد R(x)، علماً بأن R(20)=30000.

R(x)=(4x1.2x2)dx=2x20.4x3+C

بما أن R(20)=30000 إذن:

30000=2(20)20.4(20)3+CC=54000R(x)=2x20.4x3+54000

(26) يتحرك جسيم من السكون، ويعطى تسارعه بالاقتران: a(t)=cos(3tπ)، حيث t الزمن بالثواني، وa تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. أجد سرعة الجسيم بعد t ثانية من بدء الحركة.

v(t)=cos(3tπ)dx=13sin(3tπ)+C

 إذا كان 51f(x)dx=4,55f(x)dx=10,51g(x)dx=11، فأجد كلاً مما يأتي:

15f(x)dx (27)

15f(x)dx=15f(x)dx+55f(x)dx=4+10=6

517f(x)dx (28)

517f(x)dx=751f(x)dx=7×4=28

15(3f(x)g(x))dx (29)

15(3f(x)g(x))dx=315f(x)dx15g(x)dx=3(4)(11)=1

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

23(3x24x+1)dx (30)

23(3x24x+1)dx=(x32x2+x)|23=((3)32(3)2+3)((2)32(2)22)=30

13x3+2x2xdx (31)

13x3+2x2xdx=13(x3x+2x2x)dx=13(x2+2x)dx=(13x3+x2)|13=(13(3)3+(3)2)(13(1)3+(1)2)=503

15|3x|dx (32)

أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة:

|3x|={3x,x<3x3,x3

بما أن الاقتران تشعب عند 3، فإنني أجزئ التكامل عنده:

15|3x|dx=13(3x)dx+35(x3)dx=(3x12x2)|13+(12x23x)|35=(3(3)12(3)2)(3(1)12(1)2)+(12(5)23(5))(12(3)23(3))=4

1420xdx (33)

1420xdx=1420x12dx=40x12|14=40x|14=404401=40

253x(x+2)dx (34)

253x(x+2)dx=25(3x2+6x)dx=(x3+3x2)|25=((5)3+3(5)2)((2)3+3(2)2)=180

232xex2dx (35)

232xex2dxu=x2dudx=2xdx=du2xx=3u=9x=2u=4232xex2dx=492xeu×du2x=49eudu=eu|49=e9+e4=1e9+1e4

023x2(x3+1)5dx (36)

023x2(x3+1)5dxu=x3+1dudx=3x2dx=du3x2x=2u=9x=0u=1023x2(x3+1)5dx=193x2u5×du3x2=19u5du=14u4|19=14u4|19=14(9)4+14(1)4=16406561

016xx2+1dx (37)

016xx2+1dx=013(2x)x2+1dx=3012xx2+1dx=3ln|x2+1||01=3ln|2|3ln|1|=3ln2

(38) إذا كان: f(x)={x2+4,x<04x,x0، فأجد قيمة: 21f(x)dx.

بما أن الاقتران تشعب عند 0، فإنني أجزئ التكامل عنده:

21f(x)dx=20(x2+4)dx+01(4x)dx=(13x3+4x)|20+(4x12x2)|01=(0)(13(2)3+4(2))+(4(1)12(1)2)(0)=856

(39) يتحرك جسم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t)=5+et2، حيث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية، إذا الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.

v(t)=5+et2s(t)=(5+et2)dt=5t+et2+Cs(t)=5t+et2+C

بما أن الجسيم بدأ حركته من نقطة الأصل، إذن s(0)=0:

s(0)=5(0)+e02+C0=e2+CC=e2C=1e2s(t)=5t+et21e2

موقع الجسم بعد 3 ثوان من الحركة هو:

s(3)=5(3)+e321e2=15+e1e2m

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران (f(x، ونقطة يمر بها منحنى (y=f(x. أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران (f(x:

f(x)=3x2+6x2;(0,6) (40)

f(x)=(3x2+6x2)dx=x3+3x22x+C

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (0,6) إذن:

6=(0)3+3(0)22(0)+CC=6f(x)=x3+3x22x+6

f(x)=20x2;(1,400) (41)

f(x)=20x2dx=20x2dx=20x1+C=20x+C

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (1,400) إذن:

400=201+CC=400+20f(x)=20x+400+20

f(x)=2x+1x2;(1,1) (42)

f(x)=(2x+1x2)dx=(2x+x2)dx=2ln|x|x1+C=2ln|x|1x+C

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (1,1) إذن:

1=2ln|1|11+CC=2f(x)=2ln|x|1x+2

f(x)=5ex4;(0,1) (43)

f(x)=(5ex4)dx=5ex4x+C

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (1-,0) إذن:

1=5e04(0)+CC=6f(x)=5ex4x6

f(x)=xx2+5;(2,10) (44)

f(x)=xx2+5dxu=x2+5dudx=2xdx=du2xxx2+5dx=xu12×du2x=12u12du=13u32+C=13(x2+5)3+C

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (2,10) إذن:

10=13((2)2+5)3+CC=1f(x)=13(x2+5)3+1

(45) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=x2x2، والمحور x، والمستقيمين: x=1,x=-2

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=0x2x2=0(x+1)(x2)=0x=1,x=2

نختار عدداً ضمن الفترة [2,1-]، وليكن 1.5- ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(0)=(1.5+1)(1.52)=1.75>0

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [1-,2-]

نختار عددا ضمن الفترة [1,1-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(0)=(0+1)(02)=2<0

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,1-]

العدد 2 خارج الفترة المطلوبة بالسؤال، إذن نهمله

A=21(x2x2)dx11(x2x2)dx=21(x2x2)dx+11(x2+x+2)dx=(13x312x22x)|21+(13x3+12x2+2x)|11=(1312+2)(832+4)+(13+12+2)(13+122)=316

إذن، المساحة هي: 316 وحدة مربعة.

(46) طب: يمثل الاقتران (1)C تركيز دواء في الدم بعد t ساعة من حقنه في جسم مريض، حيث C مقيسة بالمليغرام لكل سنتيمتر مكعب (mg/cm3). إذا كان تركيز الدواء فـي دم المريض يتغير بمعدل C(t)=3t(t2+36)3، فأجد مقدار التغير في تركيز الدواء بالدم خلال الساعات الثماني الأولى التي تلت حقنه في جسم المريض.

أولاً نجد قاعدة الاقتران:

C(t)=3t(t2+36)3dtu=t2+36dudt=2tdt=du2tC(t)=3t(t2+36)3dt=3tu3×du2t=32u32du=3u12+K=3u+K=3t2+36+K

بما أن مقدار تركيز الدواء في الدم في البداية هي 0 مليغرام، إذن 0=(0)C ومنه:

C(t)=3t2+36+KC(0)=30+36+K0=12+KK=12C(t)=3t2+3612C(8)=364+3612=810

مقدار التغير في تركيز الدواء في الجسم خلال الساعات الثماني الأولى من حقنه هو 0.8 mg/cm2

(47) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران f(x)=3x23x، والمحور x.

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=03x23x=03x(x1)=0x=0,x=1

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [0,1]، وليكن 12 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(0)=3(12)23(12)=34<0

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [0,1]

A=01(3x23x)dx=01(3x2+3x)dx=(x3+32x2)|01=((1)3+32(1)2)((0)3+32(0)2)=12

إذن، المساحة هي: 12 وحدة مربعة.

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلات البيانية الآتية:

التمثيل البياني للسؤال 48

A=31(x2+4x+3)dx+10(x2+4x+3)dx=31(x24x3)dx+10(x2+4x+3)dx=(13x32x23x)|31+(13x3+2x2+3x)|10=(132+3)(918+9)+(0)(13+23)=83

إذن، المساحة هي: 83 وحدة مربعة.

التمثيل البياني للسؤال 49

A=01x3dx=(14x4)|01=(14(1)4)(14(0)4)=14

إذن، المساحة هي: 14 وحدة مربعة.

التمثيل البياني للسؤال 50

A=02x2dx=02x2dx=(13x3)|02=(13(2)3)(13(0)3)=83

إذن، المساحة هي: 83 وحدة مربعة.

التمثيل البياني للسؤال 51

A=10xex2dx+02xex2dx=10xex2dx+02xex2dxu=x2dudt=2xdt=du2xx=0u=0x=1u=1x=2u=4A=10xeu×du2x+04xeu×du2x=1012eudu+0412eudu=(12eu)|10+(12eu)|04=(12e0)(12e1)+(12e4)(12e0)=1+12e+12e4

إذن، المساحة هي: 1+12e+12e4 وحدة مربعة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

01 / 03 / 2023

النقاشات