اختبار نهاية الوحدة

اختبار نهاية الوحدة

التكامل

أختار رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

(1) قيمة 02e2xdx هي:

e41 (a

e42 (b

2e42 (c

12e412 (d

02e2x=12e2x|02=12e412...........d

(2) قيمة 44(4|x|)dx هي:

0 (a

4 (b

16 (c

8 (d

44(4|x|)dx=40(4+x)dx+04(4x)dx=(4x+12x2)|40+(4x12x2)|04=(16+8)+(168)=16(c)

(3) يبين الشكل الآتي المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: y=x2x2,،y=x33x2+4، في الفترة [1,2-]

التكامل المحدود الذي يمكن عن طريقه إيجاد مساحة المنطقة المظللة هو:

12(x34x2+x+6)dx (a

12(x3+4x2x6)dx (b

12(x34x2x+2)dx (c

12(x32x2x+2)dx (d

A=12(x33x2+4(x2x2))dx=12(x34x2+x+6)dx(a)

(4) حل المعادلة التفاضلية: dydx=2xy الذي تحققه النقطة (0,1) هو: 

y=ex2 (a

y=x2y (b

y=x2y+1 (c

y=x2y22+1 (d

dyy=2xdxln|y|=x2+C(0,1)0=0+CC=0ln|y|=x2|y|=ex2y=ex2............a

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

1exdx (5)

1exdx=e12xdx=2e12x+C

(tan2x+e3x1x)dx (6)

(tan2x+e3x1x)dx=(12×2sin2xcos2x+e3x1x)dx=12ln|cos2x|+13e3xln|x|+C

csc2x(1+tan2x)dx (7)

csc2x(1+tan2x)dx=(csc2x+1sin2x×sin2xcos2x)dx=(csc2x+sec2x)dx=cotx+tanx+C

e2xe2x+5dx (8)

e2xe2x+5dx=122e2xe2x+5dx=12ln(e2x+5)+C

2x2+7x3x2dx (9)

2x2+7x3x2dx=(2x+11+19x2)dx=x2+11x+19ln|x2|+C

sec2(2x1)dx (10)

sec2(2x1)dx=12tan(2x1)+C

cot(5x+1)dx (11)

cot(5x+1)dx=155cos(5x+1)sin(5x+1)dx=15ln|sin(5x+1)|+C

0π/2sinxcosxdx (12)

0π2sinxcosx=120π2sin2x=14cos2x|0π2=14(11)=12

0πcos20.5xdx (13)

0πcos212xdx=120π(1+cosx)dx=12(x+sinx)|0π=12((π)+(0))0=π2

02|x31|dx (14)

02|x31|dx=01(1x3)dx+12(x31)dx=(x14x4)|01+(14x4x)|12=(34)+(42+34)=72

0π/4(sec2x+cos4x)dx (15)

0π4(sec2x+cos4x)dx=(tanx+14sin4x)|0π4=(1)(0)=1

0π/3(sin(2x+π3)1+cos2x)dx (16)

0π3(sin(2x+π3)1+cos2x)dx=(12cos(2x+π3)x+12sin2x)|0π3=(12π3+34)(14)=3+34π3

0π/8sin2xcos2xdx (17)

0π8sin2xcos2xdx=120π8sin4xdx=18cos4x|0π8=0(18)=18

4x24dx (18)

4x24dx=4(x2)(x+2)dx4(x2)(x+2)=Ax2+Bx+2A(x+2)+B(x2)=4x=2A=1x=2B=14(x2)(x+2)=1x2+1x+24x24dx=4(x2)(x+2)dx=(1x2+1x+2)dx=ln|x2|lnx+2+C=ln|x2x+2|+C

x+7x2x6dx (19)

x+7x2x6dx=x+7(x3)(x+2)dxx+7(x3)(x+2)=Ax3+Bx+2A(x+2)+B(x3)=x+7x=2B=1x=3A=2x+7(x3)(x+2)=2x3+1x+2x+7x2x6dx=x+7(x3)(x+2)dx=(2x3+1x+2)dx=2ln|x3|ln|x+2|+C

x1x22x8dx (20)

x1x22x8dx=122(x1)x22x8dx=12ln|x22x8|+C

x2+3x3+xdx (21)

x2+3x3+xdx=x2+3x(x2+1)dxx2+3x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1A(x2+1)+(Bx+C)(x)=x2+3x=0A=3x=12A+B+C=4B+C=2x=12A+BC=4BC=2B=2,C=0x2+3x(x2+1)=3x+2xx2+1x2+3x3+xdx=x2+3x(x2+1)dx=(3x+2xx2+1)dx=3ln|x|ln|x2+1|+C=ln|x3x2+1|+C

1x2(1x)dx (22)

1x2(1x)=Ax+Bx2+C1xAx(1x)+B(1x)+C(x2)=1x=0B=1x=1C=1x=12A+2B+C=1A=11x2(1x)=1x+1x2+11x1x2(1x)dx=(1x+1x2+11x)dx=ln|x|1xln|1x|+C=ln|x1x|1x+C

sinxcos2x3cosxdx (23)

u=cosxdudx=sinxdx=dusinxsinxcos2x3cosx=sinxu23u×dusinx=13uu2du13uu2=1u(3u)=Au+B3uA(3u)+Bu=1u=0A=13u=3B=1313uu2du=(13u+133u)du=13ln|u|13ln|3u|+C=13ln|cosx3cosx|+C

xx4dx (24)

u=xu2=x,dx=2uduxx4=uu24×2udu=2u2u24du=(2+8u24)du8u24=Au2+Bu+2A(u+2)+B(u2)=8u=2A=2u=2B=2xx4=(2+2u2+2u+2)du=2u+2ln|u2|2ln|u+2|+C=2x+2ln|x2x+2|+C

sec2xtanx1+tanxdx (25)

u=1+tanxdx=dusec2xsec2xtanx1+tanxdx=sec2x(u1)udusec2x=(u32u12)du=25u5223u32+C=25(1+tanx)5223(1+tanx)32+C

x43x3dx (26)

u=43xdx=du3,x=4u3x43x3dx=13(4u)u13×du3=19(4u13u23)du=19(6u2335u53)+C=23u23+115u53+C=23(43x)23+115(43x)53+C

(lnx)6xdx (27)

u=lnxdudx=1x,dx=xdu(lnx)6xdx=xu6xdu=u6du=17u7+C=17(lnx)7+C

(x+1)2x2dx (28)

u=x2x=u+2,dx=du(x+1)2x2dx=(u+3)2u12du=(u2+6u+9)u12du=(u52+6u32+9u12)du=27u72+125u52+6u32+C=27(x2)72+125(x2)52+6(x2)32+C

xcsc2xdx (29)

xcsc2xdxu=xdv=csc2xdxdu=dxv=cotxxcsc2xdx=xcotx+cotxdx=xcotx+cosxsinxdx=xcotx+ln|sinx|+C

(x25x)exdx (30)

u=x25xdv=exdxdu=(2x5)dxv=ex(x25x)exdx=(x25x)ex(2x5)exdxu=2x5dv=exdxdu=2dxv=ex(2x5)exdx=(2x5)ex2exdx=(2x5)ex2ex+C(x25x)exdx=(x25x)ex(2x5)ex+2ex+C=ex(x27x+7)+C

xsin2xdx (31)

u=xdv=sin2xdxdu=dxv=12cos2xxsin2xdx=12xcos2x12cos2xdx=12xcos2x+14sin2x+C

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

01t3t2dt (32)

u=t2dt=uv2tt=0u=0t=1u=101t3t2dt=01t3udu2t=12013udu=3u2ln3|01=32ln312ln3=1ln3

π/4π/3cot3xdx (33)

π4π3cot3xdx=π4π3cotx(csc2x1)dx=π4π3cotxcsc2xdxπ4π3cotxdxu=cotxdx=ducsc2xx=π4u=1x=π3u=13π4π3cotxcsc2xdxπ4π3cotxdx=113uduπ4π3cosxsinxdx=12u2|113ln|sinx|π4π3=12(131)(ln32ln22)=13ln32=1312ln32

ππcosx4+3sinxdx (34)

u=4+3sinxdx=du3cosxx=πu=4x=πu=4ππcosx4+3sinxdx=44cosxu×du3cosx=1344duu=0

10x2xx2+x2dx (35)

10x2xx2+x2dx=10x(x1)(x1)(x+2)dx=10xx+2dx=10(12x+2)dx=(x2ln|x+2|)|10=02ln2(12ln1)=12ln2

1232x2+416x21dx (36)

32x2+416x21=2+616x21=2+A4x1+B4x+1A(4x+1)+B(4x1)=6x=14A=3x=14B=31232x2+416x21dx=12(2+34x1+34x+1)dx=(2x+34ln|4x1|34ln|4x+1|)|12=(4+34ln734ln9)(2+34ln334ln5)=2+34ln3527

1/2e/2xln2xdx (37)

u=ln2xdv=xdxdu=1xv=x2212e2xln2xdx=x22ln2x|12e212e2x2dx=x22ln2x|12e214x2|12e2=116(e2+1)

الشكليبين الشكل الآتي منحنى السرعة المتجهة – الزمن لجسيم يتحرك على المحـور x في الفترة الزمنية [0,10]، إذا بدأ الجسيم الحركة من 0=x عندما 0=t، فأجيب عن الأسئلة الثلاثة التالية تباعاً:

(38) أجد إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

s(10)s(0)=010v(t)dt=R1R2+R3=12(2)(4)12(2)(4)+12(3+6)(4)=18m

(39) أجد المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة له.

010|v(t)|dt=R1+R2+R3=4+4+18=26m

(40) أجد الموقع النهائي للجسيم.

s(10)s(0)=18s(10)0=18s(10)=18m

(41) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: g(x)=x2,f(x)=x.

x2=x12x4=xx4x=0x(x31)=0x=0,x=1A=01(xx2)dx=(23x3213x3)|01=(2313)(0)=13

(42) أجد المساحة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: g(x)=x,f(x)=x3.

x=x3x(x21)=0x=0,x=1,x=1A=10(x3x)dx+01(xx3)dx=(14x412x2)|10+(12x214x4)|01=12

(43) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحني الاقترانين: g(x)=x2+2,f(x)=x، والمستقيمين x=2,x=-2

x2+2=xx2+x+2=0

هذه المعادلة التربيعية لا حلول لها، لأن المميز سالب، إذن، منحنيا الاقترانين لا يتقاطعان.

A=22(x2+2+x)dx=(13x3+2x+12x2)|22=403

(44) أثبت أن: 25x2x21dx=3+12ln2.

x2x21=1+1x21=1+Ax1+Bx+1A(x+1)+B(x1)=1x=1A=12x=1B=1225x2x21dx=25(1+12x1+12x+1)dx=(x+12ln|x1|12ln|x+1|)|25=3+12ln2

يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t)=t91t+6، حيـث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية:

(45) أجد إزاحة الجسيم في الفترة [1,10].

D=110v(t)dt=110(19t(t+6)12)dt=(118t22t+6)|110=(2752)m2.792m

(46) أجد المسافة الكلية التـي قطعها الجسيم في الفترة [1,10].

v(t)=19t(t+6)12

لتكن d المسافة المقطوعة وهي تمثل المساحة بين منحني v(t) والمحور t بين المستقيمين t=1,t=10

d=110|v(t)|dt=110|19t(t+6)12|dt19t(t+6)12=0t9=1t+6tt+6=9t2(t+6)=81t3+6t281=0(t3)(t2+9t+81)=0t=3d=13(19t(t+6)12)dt+310(19t(t+6)12)dt=(2t+6118t2)|13+(118t22t+6)|310=15518273.32m

الشكليمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران: y=(1+sin2x)2 حيث: 0x3π4:

(47) أجد إحداثيي النقطة A.

(1+sin2x)2=0sin2x=12x=3π2x=3π4A(3π4,0)

(48) أجد مساحة المنطقة R.

A(R)=03π4(1+sin2x)2dx=03π4(1+2sin2x+sin22x)dx=03π4(1+2sin2x+12(1cos4x)dx=03π4(32+2sin2x12cos4x)dx=(32xcos2x18sin4x)|03π4=9π8+1

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلين البيانيين الآتيين:

التمثيل البياني للسؤال 49

x2ln2x=0x=0 يهملln2x=02x=1x=12A=121x2ln2xdxu=ln2xdv=x2dxdu=1xdxv=13x3x2ln2xdx=13x3ln2x13x31xdx=13x3ln2x19x3+CA=(13x3ln2x19x3)|121=13ln2772

التمثيل البياني للسؤال 50

116x3=2x1256x64x=0x(1256x54)=0x=0,x=4(256)5=2105=4A=04(2x116x3)dx=(43x32164x4)|04=203

منحنيي الاقترانيبين الشكل الآتي منحنيي الاقترانين: f(x)=x2+14,g(x)=x4+2:

(51) إذا كان منحنيا الاقترانين يتقاطعان في النقطة A والنقطة B، فأجد إحداثي نقطتي التقاطع.

x2+14=x4+2x4x212=0(x24)(x2+3)=0x=±2A(2,f(2))=(2,18)B(2,f(2))=(2,18)

(52) أجد حجم المجسّم الناتج من دورات المنطقة المظللة حول المحور x.

نلاحظ أن منحنيي f,g واقعان فوق المحور x، وأن منحنى f فوق منحنى g في الفترة [2,2-]

V=π02(f2(x)g2(x))dx=π02((x2+14)2(x4+2)2)dx=π02(x83x4+28x2+192)dx=π(19x935x5+283x3+192x)|02=17216π45

(53) أجد حجم المجسّم الناتج من دورات المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=xex، والمحور x والمستقيمين: 1=x و 2=x حول المحور x.

V=π12(f(x))2dx=π12xexdxu=xdv=exdxdu=dxv=exxexdx=xex+exdx=xexex+CV=π12xexdx=π((xexex)|12)=2e3e2π

أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

dydx=yx (54)

dyy=dxxdyy=dxx2y=ln|x|+C

dydx=xexsecy (55)

dysecy=xexdxcosydy=xexdxu=xdv=exdxdu=dxv=exxexdx=xexexdx=xexex+Ccosydy=xexdxsiny=xexex+C

3y2dydx=8x (56)

3y2dy=8xdx3y2dy=8xdxy3=4x2+C

xdydx=3xy+4y (57)

xdy=y(3x+4)dxdyy=3x+4xdxy12dy=(3+4x)dx2y=3x+4ln|x|+C

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل معادلة تفاضلية مما يأتي:

dydx+4y=8;y(0)=3 (58)

dydx=84y=4(2y)dy2y=4dxdy2y=4dxln|4y|=4x+C العام الحلln1=0+CC=0 x=0,y=3 نعوضln|4y|=4x الخاص الحل

dydx=5ey(2x+1)(x2);y(3)=0 (59)

dy5ey=dx(2x+1)(x2)1(2x+1)(x2)=A2x+1+Bx2A(x2)+B(2x+1)=1x=2B=15x=12A=25dy5ey=(252x+1+15x2)dxey5=15ln|2x+1|+15ln|x2|+C العام الحل15=15ln5+15ln5+CC=15 x=3,y=0 نعوضey5=15ln|2x+1|+15ln|x2|151ey5=15ln|x22x+1|1ey=ln|x22x+1| الخاص الحل

أسماك: يتغير عدد الأسماك في إحدى البحيرات بمعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: dxdt=0.2x، حيث x عدد الأسماك، وt الزمن بالسنوات منذ هذه السنة:

(60) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الأسماك في البحيرة بعد t سنة، علماً بأن عددها هذه السنة هو 300 سمكة.

dxx=0.2dtdxx=0.2dtln|x|=0.2t+Cx=e0.2t+C=eC(e0.2t)=Ke0.2t

حيث k ثابت يساوي eC وبملاحظة أن عدد الأسماك x أكبر من صفر (فيكون |x|=x)

x(0)=300300=Ke0.2(0)K=300x(t)=300e0.2t الخاص الحل

(61) أجد عدد الأسماك في البحيرة بعد 5 سنوات.

x(5)=300e0.2(5)=300e815

إذن، عدد الأسماك في البحيرة بعد 5 سنوات هو 815 سمكة تقريباً.

(62) تجارة: يمثل الاقتران (p(x سعر القطعة الواحدة (بالدينار) من منتج معين، حيث x عدد القطع المبيعة من المنتج بالمئات. إذا كان: p(x)=300x(9+x2)3 هو معدل التغير في سعر القطعة الواحدة من المنتج، فأجد (p(x، علماً بأن سعر القطعة الواحدة هو 75JD عندما يكون عدد القطع المبيعة من المنتج 400 قطعة.

p(x)=300x(9+x2)32dxu=9+x2dx=du2xp(u)=300xu32du2x=150u32du=300u+Cp(x)=3009+x2+Cp(4)=3005+C75=60+CC=15p(x)=15+3009+x2

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

02 / 03 / 2023

النقاشات