أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا الاقتران الأسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f (x) = 2 e^{x} + 1$

$f^{'} (x) = 2 e^{x}$

(2) $f (x) = e^{3 x + 9}$

$f^{'} (x) = 3 e^{3 x + 9}$

(3) $f (x) = (x^{2} + 3 x - 9) e^{x}$

$f^{'} (x) = (x^{2} + 3 x - 9) (e^{x}) + (e^{x}) (2 x + 3) = e^{x} (x^{2} + 5 x - 6)$

(4) $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{4}}$

f $f^{'} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}} = \frac{x e^{x} - 4 e^{x}}{x^{5}}$

(5) $f (x) = 6 e^{\sqrt{x}}$

$f^{'} (x) = 6 \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}}$

(6) $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

$f^{'} (x) = \frac{(1 + e^{x}) (e^{x}) - e^{x} (e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}} = \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

(7) $f (x) = (e^{x} + 2) (e^{x} - 1)$

$f^{'} (x) = (e^{x} + 2) (e^{x}) + (e^{x} - 1) (e^{x}) = 2 e^{2 x} + e^{x}$

(8) $f (x) = e^{- 2 x} (2 x - 1)^{5}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (e^{- 2 x}) \times 5 (2 x - 1)^{4} \times 2 + (2 x - 1)^{5} (- 2 e^{- 2 x}) \\ = 2 e^{- 2 x} (2 x - 1)^{4} (6 - 2 x) \end{aligned}$

(9) $f (x) = x^{3} - 5 e^{2 x}$

f $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 5 \times 2 e^{2 x} = 3 x^{2} - 10 e^{2 x}$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(10) $f (x) = 3 \ln x$

$f^{'} (x) = \frac{3}{x}$

(11) $f (x) = x^{3} \ln x$

$f^{'} (x) = (x^{3}) (\frac{1}{x}) + (l n x) (3 x^{2}) = x^{2} + 3 x^{2} l n x$

(12) $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} (\frac{1}{x}) - (l n x) (2 x)}{x^{4}} = \frac{x - 2 x l n x}{x^{4}} = \frac{1 - 2 l n x}{x^{3}}$

(13) $f (x) = x^{2} \ln (4 x)$

f $f^{'} (x) = (x^{2}) (\frac{4}{4 x}) + (l n (4 x)) (2 x) = x + 2 x l n (4 x)$

(14) $f (x) = \ln (\frac{x + 1}{x})$

$f^{'} (x) = \frac{\frac{(x) (1) - (x + 1) (1)}{x^{2}}}{\frac{x + 1}{x}} = \frac{\frac{- 1}{x^{2}}}{\frac{x + 1}{x}} = \frac{- 1}{x^{2}} \times \frac{x}{x + 1} = \frac{- 1}{x (x + 1)}$

(15) $f (x) = \ln \sqrt{x^{2} - 1}$

$f^{'} (x) = \frac{\frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} - 1}}}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \times \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{x}{x^{2} - 1}$

(16) f $f (x) = (\ln x)^{4}$

$f^{'} (x) = 4 (l n x)^{3} \times \frac{1}{x} = \frac{4 (l n x)^{3}}{x}$

(17) $f (x) = \ln (x^{2} - 5)$

$f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 5}$

(18) $f (x) = x^{4} \ln x - \frac{1}{2} e^{x}$

$f^{'} (x) = (x^{4}) (\frac{1}{x}) + (l n x) (4 x^{3}) - \frac{1}{2} e^{x} = x^{3} + 4 x^{3} l n x - \frac{1}{2} e^{x}$

(19) $f (x) = e^{2 x} \ln x$

$f^{'} (x) = (e^{2 x}) (\frac{1}{x}) + (l n x) (2 e^{2 x}) = \frac{e^{2 x} (1 + x l n x)}{x}$

(20) f $f (x) = (\ln 3 x) (\ln 7 x)$

$f^{'} (x) = (l n 3 x) (\frac{7}{7 x}) + (l n 7 x) (\frac{3}{3 x}) = \frac{l n 3 x + l n 7 x}{x}$

(21) $f (x) = \ln (e^{x} - 2)$

$f^{'} (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} - 2}$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(22) $f (x) = e^{2 x - 1} \ln (2 x - 1), x = 1$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = (e^{2 x - 1}) (\frac{2}{2 x - 1}) + (l n (2 x - 1)) (2 e^{2 x - 1}) \\ f^{'} (1) = (e^{2 - 1}) (\frac{2}{2 - 1}) + (l n (2 - 1)) (2 e^{2 - 1}) = 2 e + 0 = 2 e \end{aligned}$

(23) $f (x) = \frac{\ln x^{2}}{x}, x = 4$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{x (\frac{2 x}{x^{2}}) - (l n x^{2}) (1)}{x^{2}} = \frac{2 - l n x^{2}}{x^{2}} \\ f^{'} (4) & = \frac{2 - l n 16}{16} \end{aligned}$

(24) فيروسات: يمكن نمذجة انتشار الإنفلونزا في إحدى المدارس باستعمال الاقتران: $P (t) = \frac{100}{1 + e^{3 - t}}$ ، حيث P(t) عدد السنوات بعد t يوماً من ملاحظة الإنفلونزا أوّل مرّة في المدرسة. أجد سرعة انتشار الإنفلونزا في المدرسة بعد 3 أيام.

$\begin{aligned} P^{'} (t) = \frac{- 100 \times - e^{3 - t}}{{(1 + e^{3 - t})}^{2}} = \frac{100 e^{3 - t}}{{(1 + e^{3 - t})}^{2}} \\ P^{'} (3) = \frac{100 e^{3 - 3}}{{(1 + e^{3 - 3})}^{2}} = \frac{100}{4} = 25 \end{aligned}$

(25) ذاكرة: يُستعمل الاقتران: $m (t) = t \ln t + 1, 0 < t \leq 4$ لقياس قدرة الأطفال على التذكر، حيث m مقياس من 1 إلى 7 ، و t عمر الطفل بالسنوات. أجد معدل تغير قدرة الأطفال على التذكر بالنسبة إلى عمر الطفل t .

$m^{'} (t) = (t) (\frac{1}{t}) + (l n t) (1) = 1 + l n t$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي:

(26) $y = e^{2 u} + 3, u = x^{2} + 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} & = 2 e^{2 u} \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = 2 e^{2 u} \times 2 x \\ = 4 x e^{2 u} \\ = 4 x e^{2 (x^{2} + 1)} \end{aligned}$

(27) $y = \ln (u + 1), u = e^{x}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} & = \frac{1}{u + 1} \\ \frac{d u}{d x} & = e^{x} \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = \frac{1}{u + 1} \times e^{x} \\ = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025