مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

الاشتقاق الضمني

تبرير: إذا كان: x2y2 = 1 ، فأجيب عن الأسئلة الأربعة الآتية تباعاً:

(43) أجد dydx .

x2y2=12x2ydydx=0dydx=xy

 

(44) يمكن التعبير عن منحنى العلاقة: x2y2 = 1 بالمعادلة الوسيطية: x = sec t , y = tan t ، حيث: π2tπ2

أستعمل هذه الحقيقة لإيجاد dydx بدلالة t .

dydx=dydtdxdt=sec2 tsect tan t=sec ttan t

 

(45) أثبت أن المقدارين الجبريين اللذين يمثلان dydx الناتجين في الفرعين السابقين متكافئان، مبرراً إجابتي.

dydx=sec ttan t=xy

المقداران الجبريان اللذان يمثلان  متكافئان، لأنه من نص السؤال:

x = sec t  و y = tan t ومنه فإن sec ttan t=xy

 

(46) أجد إحداثيات النقاط التي يكون عندها ميل المماس 2 .

dydx=2xy=2x=2yx2y2=1(2y)2y2=1y2=13y=±13y=13 x=23,y=13 x=23

النقاط التي يكون عندها ميل المماس 2 هي: (23,13) , (23,13)

 

(47) تبرير: إذا مثل l أيّ مماس لمنحنى المعادلة: x+y=k ، حيث k عدد حقيقي موجب، فأثبت أنّ مجموع المقطع x والمقطع y للمستقيم l يساوي k ، مبرراً إجابتي.

x+y=k12x+dydx2y=0   dydx=yx

نفرض نقطة التماس هي: (x1 , y1) فيكون ميل المماس:

dydx|(x1,y1)=y1x1

معادلة المماس:

yy1=y1x1(xx1)

المقطع x والمقطع y للمماس:

x=0yy1=y1x1(x1)y=y1+y1x1y=0y1=y1x1(xx1)x=x1+y1x1

مجموع المقطعين:

y1+y1x1+x1+y1x1=y1+2y1x1+x1=(y1+x1)2=(k)2=k

 

(48) تحدّ: إذا كان مماس منحنى الاقتران: y=xx عند النقطة (4, 16) يقطع المحور x في النقطة B ، والمحور y في النقطة C ، فأجد مساحة OBC ، حيث O نقطة الأصل.

y=xxlny=lnxxlny=xlnxdydxy=(x)(1x)+(lnx)(12x)dydx=y(xx+lnx2x)dydx=xx(1x+lnx2x)=2+lnx2x(xx)

ميل المماس:

dydx|(4,16)=2+ln 424(16)=8+4ln 4

معادلة المماس:

y16=(8+4ln4)(x4)

المقطع x والمقطع y للمماس:

x=0y16=(8+4ln 4)(4)y=1616ln 4y=016=(8+4ln 4)(x4)x=4+4ln 42+ln 4

مساحة المثلث OBC بوحدة المساحة هي:

A=12×4+4ln 42+ln 4×|1616ln 4|=32(1+ln 4)22+ln 4

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

19 / 01 / 2023

النقاشات