أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

العمليات على الأعداد المركبة

جمع الأعداد المركبة وطرحها

أتحقق من فهمي صفحة 156

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي:

(a) (7 + 8i) + (-9 + 14i)

(7+8i)+(9+14i)=2+22i

(b) (11 + 9i) - (4 - 6i)

(11+9i)(46i)=7+15i


ضرب الأعداد المركبة

أتحقق من فهمي صفحة 157

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي، ثم أكتبه بالصورة القياسية:

(a) -3i(4 – 5i)

3i(45i)=12i+15i2=1512i

(b) (5 + 4i) (7 – 4i)

(5+4i)(74i)=3520i+28i16i2=35+8i+16=51+8i

(c) (3 + 6i)2

(3+6i)2=9+36i+36i2=9+36i36=27+36i


قسمة الأعداد المركبة

أتحقق من فهمي صفحة 158

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي، ثم أكتبه بالصورة القياسية:

(a) 4+3i1+i

4+3i1+i=4+3i1+i×1i1i=4+4i+3i3i21i2=4+7i+31+1=1+7i2=12+72i

(b) 26i3i

26i3i=26i3i×ii=2i6i23i2=2i+63=2+23i

(c) 7i44i

7i44i=7i44i×4+4i4+4i=28i+28i21616i2=28i2816+16=28i2832=78+78i


ضرب الأعداد المركبة المكتوبة بالصورة المثلثية وقسمتها

أتحقق من فهمي صفحة 160

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي بالصورة المثلثية:

(a) 6(cos π3+isin π3)×2(cos π6+isin π6)

6(cos π3+isin π3)×2(cos π6+isin π6)=6×2(cos (π3+π6)+isin (π3+π6))=12(cos π2+isin π2)

(b) 6(cos (π3)+isin (π3))÷2(cos 5π6+isin 5π6)

6(cos (π3)+isin (π3))÷2(cos 5π6+isin 5π6)=62(cos (π35π6)+isin (π35π6))=3(cos (7π6)+isin (7π6))=3(cos (7π6+2π)+isin (7π6+2π))=3(cos 5π6+isin 5π6)


الجذر التربيعي للعدد المركب

أتحقق من فهمي صفحة 161

أجد الجذرين التربيعيين لكل من الأعداد المركبة الآتية:

(a) -5 – 12i

512i=x+iy512i=x2+2ixy+i2y2512i=x2y2+2ixy5=x2y2,12=2xyy=6xx2y2=5x236x2=5x4+5x236=0(x2+9)(x24)=0x=±2

عندما x = 2 ، فإن y = -3 ، وعندما x = -2 ، فإن y = 3 .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب -5 – 12i هما: 2 – 3i , -2 + 3i

(b) -9i

9i=x+iy9i=x2+2ixy+i2y29i=x2y2+2ixy0=x2y2,9=2xyy=92xx2y2=0x2814x2=04x481=0(2x2+9)(2x29)=0x=±32

عندما x = 32 ، فإن y = -32 ، وعندما x = -32 ، فإن y = 32 .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب  - 9i هما: 3232i , -32 + 32i

(c) 12+i32

12+32i=x+iy12+32i=x2+2ixy+i2y212+32i=x2y2+2ixy12=x2y2,32=2xyy=34xx2y2=12x2316x2=1216x4+8x23=0(4x21)(4x2+3)=0x=±12

عندما x = 12 ، فإن y = 32 ، وعندما x = -12 ، فإن y = -32 .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب  -5 - 12i هما: 12 + 32i , -12 - 32i


الجذور المركبة لمعادلات كثيرات الحدود

أتحقق من فهمي صفحة 165

أجد جميع الجذور الحقيقية والجذور المركبة للمعادلة: z3 z2 – 7z + 15 = 0

عوامل الحد الثابت هي: ±1,±3,±5,±15

بالتعويض، نجد أن العدد -3 يحقق المعادلة؛ لأن: (-3)3 – (-3)2 – 7(-3) + 15 = 0

إذن (z + 3) هو أحد عوامل كثير الحدود، نجري عملية القسمة، فنجد أنّ:

z3z27z+15=(z+3)(z24z+5)=0z=3,z=4±16202=2±i

إذن لهذه المعادلة ثلاثة جذور هي:

إذن لهذه المعادلة ثلاثة جذور هي: -3 , 2 + i , 2 - i

 

أتحقق من فهمي صفحة 165

إذا كان: 2 - i هو أحد جذور المعادلة: x2 + ax + b = 0، فأجد قيمة كل من a و b .

x=2±ix2=±i(x2)2=1x24x+4=1x24x+5=0

بمقارنة هذه المعادلة مع المعادلة المعطاة (x2 + ax + b = 0) نجد أنّ: a = -4 , b = 5

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

19 / 01 / 2023

النقاشات