أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

العمليات على الأعداد المركبة

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي، ثم أكتبه بالصورة القياسية:

1) (7 + 2i) + (3 – 11i)

(7+2i)+(311i)=109i

(2)  (5 – 9i) – (-4 + 7i)

 (59i)(4+7i)=916i

(3) (4 – 3i) (1 + 3i)

(43i)(1+3i)=4+12i3i+9=13+9i

(4) (4 – 6i) (1 – 2i) (2 – 3i)

(46i)(12i)(23i)=(46i)(23i4i6)=(46i)(47i)=1628i+24i42=584i

(5) (x2 + y2)2 = 50(x2 – y2)

(92i)2=8136i4=7736i

(6) 48+19i54i

48+19i54i=48+19i54i×5+4i5+4i=240+192i+95i7625+16=164+287i41=4+7i

 

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي بالصورة المثلثية:

(7) 6(cos π+isin π)×2(cos (π4)+isin (π4))

6(cos π+isin π)×2(cos (π4)+isin (π4))=12(cos (ππ4)+isin (ππ4))=12(cos 3π4+isin 3π4)

(8) (cos 3π10+isin 3π10)÷(cos 2π5+isin 2π5)

 (cos (3π10)+isin (3π10))÷(cos 2π5+isin 2π5)=cos (3π102π5)+isin (3π102π5)=cos (π10)+isin (π10)

(9) 12(cos π4+isin π4)÷4(cos π3+isin π3)

12(cos (π4)+isin (π4))÷4(cos π3+isin π3)=124(cos (π4π3)+isin (π4π3))=3(cos (π12)+isin (π12))

(10) 11(cos (π6)+isin (π6))×2(cos 3π2+isin 3π2)

11(cos(π6)+isin(π6))×2(cos(3π2)+isin(3π2))=22(cos(π6+3π2)+isin(π6+3π2))=22(cos (4π3)+isin (4π3))=22(cos (4π32π)+isin (4π32π))=22(cos (2π3)+isin (2π3))

 

أجد القيم الحقيقية للثابتين a و b في كل ممّا يأتي:

(11) (a+6i)+(7ib)=2+5i

(a+6i)+(7bi)=2+5ia+7+(6b)i=2+5ia+7=2,6b=5a=9,b=1

(12) (11ia)(b9i)=76i

(11ia)(b9i)=76i11b+(9a)i=76i11b=7,9a=6

(13) (a+ib)(2i)=5+5i

(a+ib)(2i)=5+5i2a+b+(2ba)i=5+5i2a+b=5,2ba=5b=3,a=1

طريقة ثانية للحل:

a+ib=5+5i2i=5+5i2i×2+i2+i=10+5i+10i54+1=5+15i5a=1+3ia1,b=3

(14) a6i12i=b+4i

a6i12i=b+4ia6i12i×1+2i1+2i=b+4ia+2ai6i+121+4=b+4ia+125+2a65i=b+4ia+125=b,2a65=4a=13

بتعويض قيمة a في المعادلة الأولى ينتج أن: b = 5

طريقة ثانية للحل:

a6i=(b+4i)(12i)a6i=b+8+(2b+4)ia=b+8,6=2b+4b=5,a=13

 

(15) أضرب العدد المركب 8(cos π4isin π4) في مرافقه.

z=8(cos (π4)isin (π4))=8(cos (π4)+isin (π4))z¯=8(cos (π4)+isin (π4))zz¯=8(cos (π4)isin (π4))×8(cos (π4)+isin (π4))=64(cos2 (π4)+sin2 (π4))=64

الحل الثاني: نكتب كلاً من العددين بالصورة المثلثية أولاً ثم نطبق القاعدة:

z=8(cos (π4)isin (π4))=8(cos (π4)+isin (π4))z¯=8(cos (π4)+isin (π4))zz¯=64(cos (π4+π4)+isin (π4+π4))=64

الحل الثالث: نكتب كلاً من العددين بالصورة القياسية أولاً ثم إجراء عملية الضرب:

z=8(cos (π4)isin (π4))=8(1212i)=4242iz¯=42+42izz¯=(4242i)(42+42i)=32+32=64

 

إذا كان: z1=122i,z2=5i15,z3=22i ، فأجد المقياس والسعة الرئيسة لكل ممّا يأتي:

(16) z2z1

z1=232i,z2=5i15,z3=22i|z1|=12+4=4|z2|=5+15=25|z3|=4+4=22Arg(z1)=tan1(223)=tan1(13)=π6Arg(z2)=tan1(155)=tan1(3)=π3Arg(z3)=tan1(22)=tan1(1)=π4|z2z1|=|z2||z1|=254=52Arg(z2z1)=Arg(z2)Arg(z1)=π3(π6)=π6

(17) 1z3

|1z3|=|1||z3|=122Arg(1z3)=Arg(1)Arg(z3)=0(π4)=π4

(18) z3z2

z2¯=5+i15|z2¯|=|z2|=25,Arg(z2¯)=Arg(z2)=π3|z3z2¯|=|z3||z2¯|=2225=25Arg(z3z2¯)=Arg(z3)Arg(z2¯)=π4π3=7π12

 

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

19 / 01 / 2023

النقاشات