أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

المتجهات في الفضاء

أعيّن كلاً من النقاط الآتية في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد:

(4,5,3) (1)

حل 1

(2,3,5) (2)

حل 2

(4,0,3) (3)

حل 3

أجد الطول وإحداثيات نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي أعطي طرفاها في كل مما يأتي:

(3,2,8),(5,4,2) (4)

A(3,2,8),B(5,4,2)AB=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2=22+62+(6)2=76=219N=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)=(3+52,2+42,8+22)=(4,1,5)

(2,7,0),(2,5,3) (5)

A(2,7,0),B(2,5,3)AB=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2=16+144+9=169=13N=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)=(2+22,752,0+32)=(0,1,32)

(12,8,5),(3,6,7) (6)

A(12,8,5),B(3,6,7)AB=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2=225+4+144=373N=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)=(1232,8+62,5+72)=(92,7,1)

(5,8,4),(3,2,6) (7)

A(5,8,4),B(3,2,6)AB=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2=64+100+100=264=266N=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)=(5+32,8+22,462)=(1,3,1)

أمثل كلاً من المتجهات الآتية بيانياً في الفضاء:

 v=3,4,5 (8)

حل 8

m=2,3,4 (9)

حل 9

p=3,5,2 (10)

حل 10

e=5i^+3j^+4k^ (11)

حل 11

AB:A(4,1,1),B(3,6,3) (12)

حل 12

GH:G(1,3,5),H(0,4,2) (13)

حل 13

أجد الصورة الإحداثية والمقدار للمتجه AB الذي أعطيت نقطة بدايته ونقطة نهايته في كل مما يأتي:

A(4,6,9),B(3,2,5) (14)

AB=34,26,59=7,4,4|AB|=v12+v22+v32=49+16+16=81=9

A(8,5,7),B(6,3,2) (15)

AB=6(8),35,27=14,2,5|AB|=v12+v22+v32=196+4+25=225=15

A(12,5,4),B(4,1,1) (16)

AB=412,1(5),14=8,6,5|AB|=v12+v22+v32=64+36+25=125=55

A(24,8,10),B(10,6,3) (17)

AB=1024,6(8),310=14,14,7|AB|=v12+v22+v32=196+196+49=441=21

(18) إذا كان OAB مثلثاً فيه: AB=b,OA=a، والنقطة C هي منتصف AB، فأكتب المتجه OC بدلالة a وb.

OC¯=OA+AC=a+12AB=a+12(ba)=12a+12b=12(a+b)

إذا كان: e=3,9,4,f=5i^3j^+7k^,g=1,8,5، فأجد كلاً مما يأتي:

3e+4f (19)

3e+4f=33,9,4+45,3,7=9,27,12+20,12,28=11,15,16

e+f3g (20)

e+f3g=3,9,4+5,3,731,8,5=5,18,18

4e2f+3g (21)

4e2f+3g=43,9,425,3,7+31,8,5=25,66,45

2e+7f2g (22)

2e+7f2g=23,9,4+75,3,721,8,5=31,19,51

إذا كانت: A(1,6,5),B(0,1,4),C(2,1,1) نقاطاً في الفضاء، فأجد كلاً مما يأتي:

(23) متجه موقع كل من النقاط: A وB وC.

OA=1,6,5,OB=0,1,4,OC=2,1,1

(24) متجه الإزاحة من النقطة B إلى النقطة A.

BA=OAOB=1,6,50,1,4=1,5,9

(25) متجه الإزاحة من النقطة C إلى النقطة B.

CB=OBOC=0,1,42,1,1=2,0,5

(26) المسافة بين النقطة C والنقطة B.

|BC|=v12+v22+v32=4+0+25=29

أكتب كلاً من المتجهات الآنية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

g=5,7,1 (27)

g=5i^+7ȷ^k^

ST:S(1,0,5),T(2,2,0) (28)

ST=(21)i^+(20)ȷ^+(0(5))k^=ı^2ȷ^+5k^

a+3b:a=1i^+2j^4k^,b=4i^3j^+5k^ (29)

a+3b=i^2j^+4k^+12i^9ȷ^+15k^=11i^11ȷ^+19k^

أجد متجه وحدة في اتجاه كل متجه مما يأتي:

4i^+3j^ (30)

v=4i^+3ȷ^|v|=16+9=5v^=15v=45i^+35ȷ^

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه v

143i^24j^ (31)

v=143i^24ȷ^|v|=20449+576=21025=145v^=1145v=143145i^24145ı^

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه v

72i^+33j^+56k^ (32)

v=72i^+33ȷ^+56k^|v|=5184+1089+3136=9409=97v^=197v=7297i^+3397ı^+5697k^

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه v

(11138) (33)

v=(11138)|v|=121+169+64=354v^=1354v=(11354133548354)

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه v

(542) (34)

v=(542)|v|=25+16+4=45=35v^=135v=(535435235)

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه v

n=2,0,3 (35)

n=2,0,3|n|=4+0+9=13n^=113n=213,0,313

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه n

(36) إذا كان: a=3i^+4j^+12k^,b=7i^+39j^2k^، وكان: 3a+cb=23i^66j^+40k^، فأجد قيمة c.

3a+cb=3(3i^+4ȷ^+12k^)+c(7i^+39j^2k^)=(9+7c)i^+(12+39c)ȷ^+(362c)k^)23i^66j^+40k^=(9+7c)ı^+(12+39c)ȷ^+(362c)k^)

في هذاه المعادلة يتساوى المتجهان، إذن، فإن إحداثياتهما المتناظرة متساوية:

9+7c=23,12+39c=66,362c=40π

وعند حل هذه المعادلات نجد أن لها الحل نفسه c=2

(37) إذا كان: s=(2w+474),t=(3v2):، وكان: ks4t=(631w)، فأجد قيمة كل من v وw وk.

ks4t=k(2w+474)4(3v2)=(2k12k(w+47)4v4k8)(631w)=(2k12k(w+47)4v4k8)2k12=6k=94k8=ww=368=44k(w+47)4v=319(44+47)4v=31v=1

(38) إذا كان: m=4,1,2,n=6,2,3,p=2,a,1,5m+2p=4n، فما قيمة الثابت a؟

5m+2p=4n54,1,2+22,a,1=46,2,324,5+2a,12=24,8,12

في هذه المعادلة يتساوى المتجهان، إذن، فإن إحداثياتهما المتناظرة متساوية:

5+2a=8a=32

(39) إذا كان: v=u3,u+1,u2، وكان: |v|=17، فما قيمة u ؟

|v|=v12+v22+v32=(u3)2+(u+1)2+(u2)2=17 الأقواس وفك الطرفين بتربيعu26u+9+u2+2u+1+u24u+4=2893u28u275=0u=8±33642(3)=8±586u=506=253 أو u=666=11

(40) إذا كان متجها الموقع للنقطة G والنقطة H هما: g=2,c+1,8 وh=c1,4,c+2، على الترتيب، فأجد قيمة c، علماً بأن: |GH|=19، وأن: c>0.

GH=c1(2),4(c+1),c+2(8)=c+1,5c,c+10|GH|=(c+1)2+(5c)2+(c+10)2=19 الأقواس وفك الطرفين بتربيعc2+2c+1+25+10c+c2+c2+20c+100=3613c2+32c235=0c=32±38446=32±626c=946=473 أو c=306=5

ولكن c>0 إذن، c=5

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

14 / 02 / 2023

النقاشات