حمّل تطبيق منهاجي الجديد

منهاجي صار أسرع من خلال التطبيق

  أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

مشتقة اقترانات خاصة

أحدد قيم x للنقاط التي لا يكون عندها كلّ اقتران ممّا يأتي قابلاً للاشتقاق، مبرراً إجابتي:

(1) 

الاقتران f غير قابل للاشتقاق عندما x = x3, x = x4, x = x6 ؛ لأن لمنحناه رأس حاد أو زاوية عند هذه النقاط.

وهو غير قابل للاشتقاق عندما x = x0 ؛ لأنه غير متصل عندها،

وهو غير قابل للاشتقاق عندما x = x12 ؛ نظراً لوجود مماس رأسي عند هذه النقطة.

(2)

 الاقتران g غير قابل للاشتقاق عندماx = x3 ؛ لأن لمنحناه زاوية عند هذه النقطة.

وهو غير قابل للاشتقاق عندما x = x0 ؛ لأنه غير متصل عندها،

وهو غير قابل للاشتقاق عندما x = x1, x = x2, x = x4 ؛ لأنه غير متصل عندها.

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(3) begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals 2 sin invisible function application space x minus e to the power of x end style

begin mathsize 20px style f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis equals 2 c o s invisible function application space x minus e to the power of x end style

(4) begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator ln invisible function application space x over denominator 4 end fraction minus pi space cos invisible function application space x end style

begin mathsize 20px style f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator 4 x end fraction plus pi space s i n invisible function application space x end style

(5) begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals ln invisible function application space left parenthesis 1 over x cubed right parenthesis plus x to the power of 4 end style

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell f left parenthesis x right parenthesis end cell cell equals l n invisible function application space left parenthesis 1 over x cubed right parenthesis plus x to the power of 4 end cell row blank cell equals l n invisible function application space 1 minus l n invisible function application space x cubed plus x to the power of 4 end cell row blank cell equals negative 3 l n invisible function application space x plus x to the power of 4 end cell row cell f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis end cell cell equals negative 3 over x plus 4 x cubed end cell end table end style

(6) begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of x plus 1 end exponent plus 1 end style

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell f left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of x plus 1 end exponent plus 1 equals e cross times e to the power of x plus 1 end cell row blank cell f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis equals e cross times e to the power of x equals e to the power of x plus 1 end exponent end cell end table end style

(7) begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of x plus x to the power of e end style

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(8) begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

إذا كان: begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(9) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران f عند النقطة (begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style).

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

ميل المماس عند النقطة (begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style) :

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

معادلة المماس عند النقطة (begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style) :

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(10) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران f عند النقطة (begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style).

بما أن ميل المماس عند النقطة (begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style) هو begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style ، فإن ميل العمودي على المماس هو:

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

معادلة العمودي على المماس هي:

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(11) أجد قيمة x التي يكون عندها المماس أفقياً لمنحنى الاقتران: begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(12) اختيار من متعدد: أي الآتية تمثل معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style عندما x = π ؟

(a) y = -x + π - 1

(b) y = x - π - 1

(c) y = x - π + 1

(d) y = x + π + 1

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

عندما x = π ، فإن:

y = f (π) = sin π + cos π = -1

ميل المماس عند النقطة (π, -1) هو: 

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style(π) = cos π - sin π = -1

بما أن ميل المماس هو -1 إذن ميل العمودي على المماس هو 1 

معادلة العمودي على المماس:

y + 1 = 1 (x – π)   →  y = x – π - 1

الإجابة الصحيحة هي: b

(13) إذا كان: f(x) = ln (kx) ، حيث k عدد حقيقي موجب، و  x > 0 ، فأبيّن أن begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style .

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

إذا كان الاقتران: f(x) = ln (x) ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(14) أثبت أنّ مماس منحنى الاقتران عند النقطة (e, 1) يمر بنقطة الأصل.

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

ميل المماس عند النقطة (e, 1) هو: 

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

معادلة المماس هي: 

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

وهو مستقيم يمر بنقطة الأصل؛ لأن النقطة (0, 0) تحقق معادلته.

(15) أثبت أنّ المقطع x للعمودي على المماس لمنحى الاقتران عند النقطة (e, 1) هو begin mathsize 20px style e plus 1 over e end style

بما أن ميل المماس هو begin mathsize 20px style 1 over e end style ، فإن ميل العمودي على المماس هو -e

معادلة العمودي على المماس:

y - 1 = -e (x – e)   →  y = -ex + e2 + 1

لإيجاد المقطع x لهذا المستقيم نضع y = 0 في معادلته:

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

يمثل الاقتران: begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(16) أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما t = 5 .

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(17) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(18) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 4 .

begin mathsize 20px style v left parenthesis 4 right parenthesis equals 21 straight m divided by straight s end style

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك لليمين عندما t = 4 .

(19) متى يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي؟

موقع الابتدائي للجسم: s(0) = 0 m

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

العبارة التربيعية t2 – 4t + 5 مميزها سالب، وبالتالي لا تساوي صفراً.

إذن لا يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي أبداً.

يمثل الاقتران: begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style موقع جُسيم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(20) أحدد الموقع الابتدائي للجسيم.

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(21) أجد تسارع الجسيم عندما تكون سرعته صفراً.

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

زنبرك: يتحرك جسم معلق بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل، ويحدد الاقتران: s(t) = 4 cos t موقع الجسم عند أي زمن لاحق، حيث t الزمن بالثواني، و s الموقع بالأمتار:

(22) أجد اقتراناً يمثل سرعة الجسم، واقتراناً آخر يمثل تسارعه عند أي لحظة.

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(23) أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما t = begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style .

begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style

(24) أصف حركة الجسم.

من خصائص اقتران s(t) = 4 cos t نعرف أن الجسم يتحرك بمرور الزمن صعوداً وهبوطاً بين الموقعين s = 4 m , s = -4m  وأنه يمر بنقطة الاتزان s = 0 أثناء هذه الحركة عندما t = begin mathsize 22px style rightwards arrow with increment on top end style حيث n أي عدد فردي موجب.

تتغير سرعة الجسم بمرور الزمن ونعرف من خصائص الاقتران v(t) = -4 sin t أن قيم السرعة تتراوح بين 4 m/s , -4 m/s ونلاحظ أن الجسم يصل إلى هذه السرعة عند اللحظات التي يمر فيها بنقطة الاتزان.

نلاحظ أن قيمة تسارع الجسم عند كل لحظة تساوي معكوس قيمة اقتران الموقع عند تلك اللحظة، وأن التسارع ينعدم عند مرور الجسم بنقطة الاتزان حيث تكون محصلة القوى المؤثرة في الجسم صفراً.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

30 / 08 / 2024

النقاشات