قاعدة السلسلة

إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

قاعدة السلسلة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f (x) = \sqrt{4 x - 1}$

$f^{'} (x) = \frac{4}{2 \sqrt{4 x - 1}} = \frac{2}{\sqrt{4 x - 1}}$

(2) $f (x) = \frac{3}{\sqrt{3 - x^{2}}}$

$\begin{aligned} f (x) = 3 {(3 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \\ f^{'} (x) = - \frac{3}{2} {(3 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} (- 2 x) = \frac{3 x}{\sqrt{{(3 - x^{2})}^{3}}} \end{aligned}$

(3) $f (x) = (3 + 4 x)^{\frac{5}{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{5}{2} (3 + 4 x)^{\frac{3}{2}} (4) = 10 (3 + 4 x)^{\frac{3}{2}}$

(4) $f (x) = (8 - x)^{100}$

$f^{'} (x) = 100 (8 - x)^{99} (- 1) = - 100 (8 - x)^{99}$

(5) $f (x) = x^{2} + (200 - x)^{2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 2 x + 2 (200 - x)^{1} (- 1) & = 2 x - 2 (200 - x) \\ = 2 x - 400 + 2 x \\ = 4 x - 400 \end{aligned}$

(6) $f (x) = (x + 5)^{7} + (2 x + 3)^{6}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = 7 (x + 5)^{6} (1) + 6 (2 x + 3)^{5} (2) \\ = 7 (x + 5)^{6} + 12 (2 x + 3)^{5} \end{aligned}$

(7) $f (x) = \sqrt[3]{x^{5} + 6 x}$

$\begin{aligned} f (x) = {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3}} \\ f^{'} (x) = \frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}} (5 x^{4} + 6) = \frac{5 x^{4} + 6}{3 \sqrt[3]{{(5 x^{4} + 6 x)}^{2}}} \end{aligned}$

(8) $f (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 3)}^{3}}$

$\begin{aligned} f (x) = {(x^{2} - 3)}^{- 3} \\ f^{'} (x) = - 3 {(x^{2} - 3)}^{- 4} (2 x) = \frac{- 6 x}{{(x^{2} - 3)}^{4}} \end{aligned}$

(9) $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \sqrt{16 - x^{2}}$

$f^{'} (x) = x + \frac{- 2 x}{2 \sqrt{16 - x^{2}}} = x - \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(10) $f (x) = 4 x^{3} + (x - 2)^{4}, x = 2$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 12 x^{2} + 4 (x - 2)^{3} \\ f^{'} (2) = 12 (4) + 4 (2 - 2)^{3} = 48 \end{aligned}$

(11) $f (x) = \sqrt{x^{2} + 8 x}, x = 8$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = \frac{2 x + 8}{2 \sqrt{x^{2} + 8 x}} = \frac{x + 4}{\sqrt{x^{2} + 8 x}} \\ f^{'} (8) = \frac{8 + 4}{\sqrt{64 + 64}} = \frac{12}{\sqrt{128}} = \frac{12}{8 \sqrt{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي:

(12) $y = u^{3} - 7 u^{2}, u = x^{2} + 3$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} & = 3 u^{2} - 14 u \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = (3 u^{2} - 14 u) \times 2 x \\ = 6 x {(x^{2} + 3)}^{2} - 28 x (x^{2} + 3) \end{aligned}$

(13) $y = \sqrt{7 - 3 u}, u = x^{2} - 9$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} & = \frac{- 3}{2 \sqrt{7 - 3 u}} \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = \frac{- 3}{2 \sqrt{7 - 3 u}} \times 2 x \\ = \frac{- 3 x}{\sqrt{7 - 3 (x^{2} - 9)}} = \frac{- 3 x}{\sqrt{34 - 3 x^{2}}} \end{aligned}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(14) $f (x) = u^{3} - 5 {(u^{3} - 7 u)}^{2}, u = \sqrt{x}, x = 4$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} = 3 u^{2} - 10 (u^{3} - 7 u) (3 u^{2} - 7) \\ \frac{d u}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}$

عندما x = 4 ، فإن u = 2

$\begin{aligned} {\frac{d y}{d x} |}_{x = 4} = {\frac{d y}{d u} |}_{u = 2} \times {\frac{d u}{d x} |}_{x = 4} \\ {\frac{d y}{d u} |}_{u = 2} = 3 (4) - 10 (8 - 14) (12 - 7) = 312 \\ {\frac{d u}{d x} |}_{x = 4} = \frac{1}{4} \\ {\frac{d y}{d x} |}_{x = 4} = 312 \times \frac{1}{4} = 78 \end{aligned}$

(15) $f (x) = 2 u^{3} + 3 u^{2}, u = x + \sqrt{x}, x = 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} = 6 u^{2} + 6 u \\ \frac{d u}{d x} = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}$

عندما x = 1 ، فإن u = 2

$\begin{aligned} {\frac{d y}{d x} |}_{x = 1} & = {\frac{d y}{d u} |}_{u = 2} \times {\frac{d u}{d x} |}_{x = 1} \\ {\frac{d y}{d u} |}_{u = 2} & = 6 (4) + 6 (2) = 36 \\ {\frac{d u}{d x} |}_{x = 1} & = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ {\frac{d y}{d x} |}_{x = 1} & = 36 \times \frac{3}{2} = 54 \end{aligned}$

تلوث: توصلت دراسة بيئية إلى نمذجة مقدار التلوث في إحدى البحيرات باستعمال الاقتران: $P (t) = {(t^{\frac{1}{4}} + 3)}^{3}$ ، حيث t الزمن بالسنوات، علماً بأنّ P يقاس بأجزاء من المليون:

(16) أجد معدل تغير مقدار التلوث في البحيرة بالنسبة إلى الزمن t .

$P^{'} (t) = 3 {(t^{\frac{1}{4}} + 3)}^{2} \times \frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} = \frac{3 {(t^{\frac{1}{4}} + 3)}^{2}}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

(17) أجد معدل تغير مقدار التلوث في البحيرة بعد 16 عاماً.

$P^{'} (16) = \frac{3 (2 + 3)^{2}}{4 (8)} = \frac{75}{32} \approx 2 .34$

إذا كان: $g (- 2) = 8, g^{'} (- 2) = 4, h (5) = - 2, h^{'} (5) = 6$ فأجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عندما x = 5 :

(18) $f (x) = g (h (x))$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = g^{'} (h (x)) \times h^{'} (x) \\ f^{'} (5) & = g^{'} (h (5)) \times h^{'} (5) \\ = g^{'} (- 2) \times 6 \\ = 4 \times 6 = 24 \end{aligned}$

(19) $f (x) = 4 (h (x))^{2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = 8 (h (x)) \times h^{'} (x) \\ f^{'} (5) & = 8 (h (5)) \times h^{'} (5) \\ = 8 \times - 2 \times 6 = - 96 \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

14 / 12 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025