أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

التوزيع الطبيعي المعياري

أجد كلاً مما يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$P (Z < 0.68)$ (1)

$P (Z < 0.68) = 0.7517$

$P (Z < 1.54)$ (2)

$P (Z < 1.54) = 0.9382$

$P (Z > 0.27)$ (3)

$\begin{aligned} P (Z > 0.27) & = 1 - P (Z < 0.27) \\ = 1 - 0.6064 \\ = 0.3936 \end{aligned}$

$P (0.49 < Z < 2.9)$ (4)

$\begin{aligned} P (0.49 < Z < 2.9) & = P (Z < 2.9) - P (Z < 0.49) \\ = 0.9981 - 0.6879 \\ = 0.3102 \end{aligned}$

$P (- 0.08 < Z < 0.8)$ (5)

$\begin{aligned} P (- 0.08 < Z < 0.8) & = P (Z < 0.8) - P (Z < - 0.08) \\ = P (Z < 0.8) - (1 - P (Z < 0.08)) \\ = 0.7881 - (1 - 0.5319) \\ = 0.9981 - 0.4681 \\ = 0.5300 \end{aligned}$

$P (0 < Z < 1.07)$ (6)

$\begin{aligned} P (0 < Z < 1.07) = & P (Z < 1.07) - P (Z < 0) \\ = 0.8577 - 0.5 \\ = 0.3577 \end{aligned}$

$P (Z < - 1.25)$ (7)

$\begin{aligned} P (Z < - 0.08) & = 1 - P (Z < 0.08) \\ = 1 - 0.5319 \\ = 0.4681 \end{aligned}$

$P (Z > - 1.99)$ (8)

$\begin{aligned} P (Z > - 1.99) & = P (Z < 1.99) \\ = 0.9767 \end{aligned}$

$P (- 0.5 < Z < 0)$ (9)

$\begin{aligned} P (- 0.5 < Z < 0) & = P (Z < 0) - P (Z < - 0.5) \\ = P (Z < 0) - (1 - P (Z < 0.5)) \\ = 0.5 - (1 - 0.6915) \\ = 0.5 - 0.3085 \\ = 0.1915 \end{aligned}$

$P (Z < 0.43)$ (10)

$P (Z < 0.43) = 0.6664$

$P (Z > 3.08)$ (11)

$\begin{aligned} P (Z > 3.08) & = 1 - P (Z < 3.08) \\ = 1 - 0.9990 \\ = 0.0010 \end{aligned}$

$P (Z < - 2.03)$ (12)

$\begin{aligned} P (Z < - 2.03) & = 1 - P (Z < 2.03) \\ = 1 - 0.9788 \\ = 0.0212 \end{aligned}$

$P (Z > 2.2)$ (13)

$\begin{aligned} P (Z > 2.2) = & - P (Z < 2.2) \\ = 1 - 0.9861 \\ = 0.0139 \end{aligned}$

$P (- 0.72 < Z < 3.26)$ (14)

$\begin{aligned} P (- 0.72 < Z < 3.26) & = P (Z < 3.26) - P (Z < - 0.72) \\ = P (Z < 3.26) - (1 - P (Z < 0.72)) \\ = 0.9994 - (1 - 0.7642) \\ = 0.9994 - 0.2358 \\ = 0.7636 \end{aligned}$

$P (1.5 < Z < 2.5)$ (15)

$\begin{aligned} P (1.5 < Z < 2.5) & = P (Z < 2.5) - P (Z < 1.5) \\ = 0.9938 - 0.9332 \\ = 0.0606 \end{aligned}$

أجد مساحة المنطقة المظللة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري في كل مما يأتي:

$\begin{aligned} P (Z > 2) = 1 & - P (Z < 2) \\ = & 1 - 0.9772 \\ = & 0.0228 \end{aligned}$

$\begin{aligned} P (- 2.25 < Z < 0) & = P (Z < 0) - P (Z < - 2.25) \\ = P (Z < 0) - (1 - P (Z < 2.25)) \\ = 0.5 - (1 - 0.9878) \\ = 0.5000 - 0.0122 \\ = 0.4878 \end{aligned}$

أجد قيمة $a$ التي تحقق الاحتمال المعطى في كل مما يأتي:

$P (Z < a) = 0.7642$ (18)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{aligned} P (Z < a) = P (Z < z) \\ \Rightarrow 0.7642 = P (Z < z) \\ \Rightarrow z = 0.72 \\ \Rightarrow a = 0.72 \end{aligned}$

$P (Z < a) = 0.13$ (19)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أقل من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ سالبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $- z$ بها.

$\begin{aligned} P (Z < a) = P (Z < - z) \\ \Rightarrow 0.13 = P (Z < - z) \\ \Rightarrow 0.13 = 1 - P (Z < z) \\ P (Z < z) = 1 - 0.13 \\ P (Z < z) = 0.87 \\ \Rightarrow z = 1.12 \\ \Rightarrow a = - 1.12 \end{aligned}$

$P (Z > a) = 0.8531$ (20)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ سالبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $- z$ بها.

$\begin{aligned} P (Z > a) = P (Z > - z) \\ \Rightarrow 0.8531 = P (Z > - z) \\ \Rightarrow 0.8531 = P (Z < z) \\ \Rightarrow P (Z < z) = 0.8531 \\ \Rightarrow z = 1.05 \\ \Rightarrow a = - 1.05 \end{aligned}$

$P (Z > a) = 0.372$ (21)

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أقل من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{aligned} P (Z > a) = P (Z > z) \\ \Rightarrow 0.372 = P (Z > z) \\ \Rightarrow 0.372 = 1 - P (Z < z) \\ \Rightarrow P (Z < z) = 1 - 0.372 \\ \Rightarrow P (Z < z) = 0.628 \\ \Rightarrow z = 0.32 \\ \Rightarrow a = - 0.32 \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

05 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025