أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المساحات والحجوم

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة (77):

(a) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: $g (x) = x^{2} + 1, g (x) = \sqrt{x}$ ، والمستقيمين $x = 0, x = 3$ .

$f (x) = g (x) \Rightarrow x^{2} + 1 = \sqrt{x}$

هذه المعادلة ليس لها حلول إذ أن المنحنيين لا يتقاطعان كما في الشكل أدناه.

الشكل

$\begin{aligned} A = \int_{0}^{3} (x^{2} + 1 - \sqrt{x}) d x & = \frac{1}{3} x^{3} + x - {\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} |}_{0}^{3} \\ = 9 + 3 - 2 \sqrt{3} - 0 = 12 - 2 \sqrt{3} \end{aligned}$

(b) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: $g (x) = 2 - \sin x ، f (x) = \sin x$ ، والمستقيمين $x = 0, x = π$ .

$\begin{aligned} f (x) = g (x) & \Rightarrow 2 - \sin x = \sin x \\ \Rightarrow \sin x = 1 ⟹ x = \frac{π}{2} \end{aligned}$

الشكل

نجد أن $g \geq f$ لكل قيم x، إذن:

$\begin{aligned} A = \int_{0}^{π} (g (x) - f (x)) d x & = \int_{0}^{π} ((2 - \sin x) - \sin x) d x \\ = \int_{0}^{π} (2 - 2 \sin x) d x \\ = 2 x + {2 \cos x |}_{0}^{π} = 2 π - 4 \end{aligned}$

أتحقق من فهمي صفحة (79):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: $g (x) = x + 2, f (x) = x^{2}$ .

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \Rightarrow x^{2} = x + 2 \\ \Rightarrow x^{2} - x + 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0 \\ \Rightarrow x = 2, x = - 1 \end{aligned}$

الشكل

نلاحظ أن $g > f$ في الفترة $(- 1, \infty)$ إذن:

$\begin{aligned} A = \int_{- 1}^{2} (g (x) - f (x)) d x & = \int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - {\frac{1}{3} x^{3} |}_{- 1}^{2} \\ = \frac{1}{2} (2)^{2} + 2 (2) - \frac{1}{3} (2)^{3} - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = \frac{9}{2} \end{aligned}$

التكامل، ومنحنى السرعة المتجهة - الزمن

أتحقق من فهمي صفحة (81):

يبين الشكل المجاور منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور $x$ في الفترة الزمنية [0,5]. إذا بدأ الجسيم الحركة من $x = 3$ عندما $t = 0$ ، فأجد كلاً مما يأتي:

(a) إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

لتكن الإزاحة D

$\begin{aligned} D = s (5) - s (0) & = \int_{0}^{5} v (t) d t \\ = A (R_{1}) - A (R_{2}) \\ = \frac{1}{2} (2 + 3.5) (1) - \frac{1}{2} (1 + 1.5) (1) \\ = 1.5 m \end{aligned}$

(b) المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

المساحة التي قطعها الجسيم هي: $\int_{0}^{5} | v (t) | d t$

$\begin{aligned} \int_{0}^{5} | v (t) | d t & = A (R_{1}) + A (R_{2}) \\ = \frac{1}{2} (5.5) + \frac{1}{2} (2.5) \\ = 4 m \end{aligned}$

(c) الموقع النهائي للجسيم.

في الفرع a وجدنا أن:

$s (5) - s (0) = 1.5$

وبتعويض $s (0) = 3$ نجد أن:

$s (5) - 3 = 1.5 \Rightarrow s (5) = 4.5 - - - - - -$

الحجوم الدورانية

أتحقق من فهمي صفحة (82):

أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = \frac{1}{x}$ ، والمحور $x$ ، والمستقيمين $x = 1, x = 4$ ، حول المحور $x$ .

$V = \int_{a}^{b} π (f (x))^{2} = \int_{1}^{4} \frac{π}{x^{2}} d x = - {\frac{π}{x} |}_{1}^{4} = - \frac{π}{4} - (- \frac{π}{1}) = \frac{3 π}{4}$

حجم المجسم الدوراني الناتج من دوران منحنيي اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة (85):

أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f (x) = \sqrt{x}$ ، و $g (x) = x^{2}$ ، حول المحور $x$ .

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \Rightarrow \sqrt{x} = x^{2} \Rightarrow x - x^{4} = 0 \Rightarrow x (1 - x^{3}) = 0 \\ \Rightarrow x = 0, x = 1 \end{aligned}$

الشكل

انلاحظ أن منحنى f يقع فوق منحنى g في الفترة [0,1]

$\begin{aligned} V & = \int_{0}^{1} π ((f (x))^{2} - (g (x))^{2}) d x \\ = \int_{0}^{1} π (x - x^{4}) d x \\ = {π (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{5} x^{5}) |}_{0}^{1} = π ((\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) - 0) = 0.3 π \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

13 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025