مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

المعادلات التفاضلية

تحد: أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2}} - x y - \frac{1}{y^{2}} + y$ (33)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} + y - x y \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x - 1) - y (x - 1) = (x - 1) (\frac{1}{y^{2}} - y) \\ \Rightarrow \frac{d y}{\frac{1}{y^{2}} - y} = (x - 1) d x \\ \int \frac{d y}{\frac{1}{y^{2}} - y} = \int (x - 1) d x \\ \int \frac{y^{2}}{1 - y^{3}} d y = \int (x - 1) d x \\ \frac{- 1}{3} \int \frac{- 3 y^{2}}{1 - y^{3}} d y = \int (x - 1) d x \\ \frac{- 1}{3} \ln | 1 - y^{3} | = \frac{1}{2} x^{2} - x + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y - 1} - \frac{2 x}{3 y - 2}$ (34)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{2 y - 1} - \frac{2}{3 y - 2}) = x (\frac{3 y - 2 - 4 y + 2}{6 y^{2} - 7 y + 2}) = x (\frac{- y}{6 y^{2} - 7 y + 2}) \\ \Rightarrow \frac{6 y^{2} - 7 y + 2}{- y} d y = x d x \\ \int \frac{6 y^{2} - 7 y + 2}{- y} d y = \int x d x \\ \int (- 6 y + 7 - \frac{2}{y}) d y = \int x d x \\ - 3 y^{2} + 7 y - 2 \ln | y | = \frac{1}{2} x^{2} + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = 1 + \tan^{2} x + \tan^{2} y + \tan^{2} x \tan^{2} y$ (35)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 1 + \tan^{2} x + \tan^{2} y + \tan^{2} x \tan^{2} y \\ = \sec^{2} x + \tan^{2} y (1 + \tan^{2} x) \\ = \sec^{2} x + \tan^{2} y \sec^{2} x \\ = \sec^{2} x (1 + \tan^{2} y) \\ = \sec^{2} x \sec^{2} y \\ \frac{d y}{\sec^{2} y} = \sec^{2} x d x \\ \int \frac{d y}{\sec^{2} y} = \int \sec^{2} x d x \\ \int \cos^{2} y d y = \int \sec^{2} x d x \\ \int \frac{1}{2} (1 + \cos 2 y) d y = \int \sec^{2} x d x \\ \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin 2 y) = \tan x + C \end{aligned}$

تبرير: يمكن نمذجة معدل تحلل مادة مشعة بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d x}{d t} = - λ x$ ، حيث $x$ الكتلة المتبقية من المادة المشعة بالمليغرام بعد $t$ يوماً، و $λ > 0$ :

(36) أثبت أنه يمكن كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية في صورة: $x = a e^{- λ t}$ ، حيث $a$ ثابت، مبرراً إجابتي.

$\begin{aligned} \frac{d x}{d t} = - λ x \\ \int \frac{d x}{x} = \int - λ d t \\ \ln | x | = - λ t + C \end{aligned}$

لكن الكمية x لا تكون سالبة، فتحذف رمز القيمة المطلقة.

$\begin{aligned} \Rightarrow \ln x = - λ t + C \\ x = e^{- λ t + C} = e^{- λ t} \times e^{c (a ثابت ليكن e^{C})} \\ \Rightarrow x = a e^{- λ t} \end{aligned}$

(37) إذا كان عمر النصف للمادة المشعة هو الوقت اللازم لتحلل نصف هذه المادة، و $a$ كتلة المادة الابتدائية، فأثبت أنّ عمر النصف للمادة المشعة هو $\frac{\ln 2}{λ}$ ، مبرراً إجابتي.

الكمية الابتدائية: $x (0) = a$

المطلوب: حساب الزمن الذي يكون عنده $x = \frac{1}{2} a$ ، نعوض:

$\frac{1}{2} a = a e^{- λ t} \Rightarrow \frac{1}{2} = e^{- λ t} \Rightarrow 2 = e^{λ t} \Rightarrow λ t = \ln 2 \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{λ}$

تبرير: تمثل المعادلة التفاضلية: $\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$ ميل المماس لمنحنى علاقة ما:

(38) أجد قيمة $n$ التي تجعل العلاقة: $x^{2} + n y^{2} = a$ حلاً للمعادلة التفاضلية المعطاة، حيث $a$ ثابت اختياري، مبرراً إجابتي.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$

لكي تكون العلاقة $x^{2} + n y^{2} = a$ حلاً للمعادلة التفاضلية المعطاة، يجب أن تحققها.

نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للمتغير x

$2 x + 2 n y \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{n y}$

نعوض المشتقة في المعادلة التفاضلية:

$\begin{aligned} - \frac{x}{n y} = - \frac{2 x}{3 y} \Rightarrow 2 n x y = 3 x y \\ \Rightarrow n = \frac{3 x y}{2 x y} = \frac{3}{2} \end{aligned}$

(39) أجد إحداثيي نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور $x$ إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (5,4)، مبرراً إجابتي.

النقطة (5,4) تحقق المعادلة:

$\begin{aligned} \Rightarrow 25 + \frac{3}{2} (16) = a \Rightarrow a = 49 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{3}{2} y^{2} = 49 \end{aligned}$

لإيجاد الإحداثي x لنقاط التقاطع منحنى العلاقة مع المحور x نضع y=0 في معادلتها

$\Rightarrow x^{2} = 0 + 49 = 49 \Rightarrow x = \pm 7$

إحداثيات نقطتي تقاطع العلاقة $x^{2} + \frac{3}{2} y^{2} = 49$ مع المحور x هما $(7, 0), (- 7, 0)$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

13 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025