مسألة اليوم

مسألة اليوم

المستقيمات في الفضاء

أرسلت إشارة لاسلكية من موقع إحداثياته: $(- 1, 4, 5)$ إلى موقع إحداثياته: $(- 11, 9, 15)$ . وفي الوقت نفسه، أرسلت إشارة من موقع إحداثياته: $(- 5, 9, 3)$ إلى موقع إحداثياته: $(2, - 5, 17)$ . إذا علمت أن الإشارة تسير في خط مستقيم، فهل يتقاطع مسارا الإشارتين؟

اتجاه مسار الإشارة الأولى: $⟨ - 11 - (- 1), 9 - 4, 15 - 5 ⟩ = ⟨ - 10, 5, 10 ⟩$

ويمكن تبسيطه بالقسمة على 5 دون التأثير على الاتجاه: ${\vec{v}}_{1} = ⟨ - 2, 1, 2 ⟩$

معادلة مسار الأولى: $\vec{r} = ⟨ - 1, 4, 5 ⟩ + t ⟨ - 2, 1, 2 ⟩$

اتجاه مسار الإشارة الثانية: $⟨ 2 - (- 5), - 5 - 9, 17 - 3 ⟩ = ⟨ 7, - 14, 14 ⟩$

ويمكن تبسيطه بالقسمة على 7 دون التأثير على الاتجاه: ${\bar{v}}_{2} = ⟨ 1, - 2, 2 ⟩$

معادلة مسار الثانية: $\vec{r} = ⟨ - 5, 9, 3 ⟩ + u ⟨ 1, - 2, 2 ⟩$

نبحث في التقاطع بمساواة متجهي الموقع $\vec{r}$ :

$\begin{aligned} ⟨ - 1 - 2 t, 4 + t, 5 + 2 t ⟩ = ⟨ - 5 + u, 9 - 2 u, 3 + 2 u ⟩ \\ - 1 - 2 t = - 5 + u \Rightarrow 2 t + u = 4 \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ 4 + t = 9 - 2 u \Rightarrow t + 2 u = 5 \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots (2) \\ 5 + 2 t = 3 + 2 u \Rightarrow - 2 t + 2 u = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) \end{aligned}$

نحل المعادلتين (1)، و(2) لإيجاد قيم t , u

$(1) \times 2 - (2) \Rightarrow 3 t = 3 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow u = 2$

تفحص تحقق المعادلة (3) عند هذه القيم $t = 1, u = 2$

$\begin{aligned} - 2 (1) + 2 (2) \overset{?}{= 2} \\ - 2 + 4 = 2 \end{aligned}$

لإيجاد قيم يتقاطع مسارا الإشارتين عندما يكون $t = 1, u = 2$ ولإيجاد نقطة التقاطع نعوض هي النقطة $t = 1$ معادلة مسار الإشارة الأولى، فتكون نقطة التقاطع $(- 3, 5, 7)$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

15 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025