أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

قاعدة السلسلة

$أتدرب وأحل المسائل$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) f(x) = (1 + 2x)⁴

f ’(x) = 4 (1 + 2x)³ (2)

= 8 (1 + 2x)³

(2) f(x) = (3 – 2x²)^-5

f ’(x) = -5 (3 – 2x²)^-6 (-4x)

= 20x (3 – 2x²)^-6

= $\frac{20 x}{{(3 - 2 x^{2})}^{6}}$

(3) f(x) = ${(x^{2} - 7 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$

f ’(x) = $\frac{3}{2}$ ${(x^{2} - 7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (2x – 7)

= $\frac{3}{2}$ (2x – 7) $\sqrt{x^{2} - 7 x + 1}$

(4) f(x) = $\sqrt{7 - x}$

f ’(x) = $\frac{- 1}{2 \sqrt{7 - x}}$

(5) f(x) = 4(2 + 8x)⁴

f ’(x) = 16(2 + 8x)³ (8)

= 128(2 + 8x)³

(6) f(x) = $\frac{1}{\sqrt[3]{4 x - 8}}$

f(x) = ${(4 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$

f ’(x) = - $\frac{1}{3}$ ${(4 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$ (4)

= - $\frac{4}{3}$ ${(4 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$

= $\frac{- 4}{3 \sqrt[3]{{(4 x - 8)}^{4}}}$

(7) f(x) = $\sqrt{5 + 3 x^{3}}$

f ’(x) = $\frac{9 x^{2}}{2 \sqrt{5 - 3 x^{3}}}$

(8) f(x) = $\sqrt{x}$ + (x – 3)²

f ’(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ + 2(x – 3)

(9) f(x) = $\sqrt[3]{2 x - x^{5}}$ + (4 – x)²

f(x) = ${(2 x - x^{5})}^{\frac{1}{3}}$ + (4 – x)²

f ’(x) = $\frac{1}{3}$ ${(2 x - x^{5})}^{- \frac{2}{3}}$ (2 – 5x⁴) + 2(4 – x) (-1)

= $\frac{2 - 5 x^{4}}{3 \sqrt[3]{{(2 x - x^{5})}^{2}}}$ - 8 + 2x

(10) f(x) = ( $\sqrt{x}$ + 5)⁴

f ’(x) = 4 ( $\sqrt{x}$ + 5)³ x $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $\frac{2 {(\sqrt{x} + 5)}^{3}}{\sqrt{x}}$

(11) f(x) = $\sqrt{{(2 x - 5)}^{3}}$

f ’(x) = $\frac{3 {(2 x - 5)}^{2} (2)}{2 \sqrt{{(2 x - 5)}^{3}}}$

= $\frac{3 {(2 x - 5)}^{2}}{\sqrt{{(2 x - 5)}^{3}}}$ = 3 $\sqrt{2 x - 5}$

(12) f(x) = (2x³ – 3x² + 4x + 1)⁵

f ’(x) = 5(2x³ – 3x² + 4x + 1)⁴ (6x² – 6x + 4)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(13) f(x) = $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ , x = $\frac{1}{4}$

f(x) = (4x + 1)^-2

f ’(x) = -2 (4x + 1)^-3 (4)

= $\frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}$

f ’( $\frac{1}{4}$ ) = - $\frac{8}{{(4 x \frac{1}{4} + 1)}^{3}}$ = -1

(14) f(x) = $\sqrt{25 - x^{2}}$ , x = 3

f ’(x) = $\frac{- x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

f ’(3) = $\frac{- 3}{\sqrt{25 - {(3)}^{2}}}$ = - $\frac{3}{4}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي:

(15) $y = 5 u^{2} + 3 u, u = x^{3} + 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} & = 10 u + 3 \\ \frac{d u}{d x} & = 3 x^{2} \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = (10 u + 3) \times 3 x^{2} \\ = (10 (x^{3} + 1) + 3) \times 3 x^{2} \\ = (10 x^{3} + 13) \times 3 x^{2} \\ = 30 x^{5} + 39 x^{2} \end{aligned}$

(16) $y = \sqrt[3]{2 u + 5}, u = x^{2} - x$

$\begin{aligned} y & = (2 u + 5)^{\frac{1}{3}} \\ \frac{d y}{d u} & = \frac{1}{3} (2 u + 5)^{- \frac{2}{3}} (2) = \frac{2}{3} (2 u + 5)^{- \frac{2}{3}} \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x - 1 \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = \frac{2}{3} (2 u + 5)^{- \frac{2}{3}} \times (2 x - 1) \\ = \frac{2}{3} {(2 (x^{2} - x) + 5)}^{- \frac{2}{3}} \times (2 x - 1) \\ = \frac{4 x - 2}{3 \sqrt[3]{{(2 x^{2} - 2 x + 5)}^{2}}} \end{aligned}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(17) $y = 3 u^{2} - 5 u + 2, u = x^{2} - 1, x = 2$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} & = 6 u - 5 \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = (6 u - 5) \times (2 x) \\ = (6 (x^{2} - 1) - 5) \times (2 x) \end{aligned}$

${\frac{d y}{d x} |}_{x = 2} = (6 (4 - 1) - 5) \times (4) = 52$

(18) $y = {(1 + u^{2})}^{3}, u = 2 x - 1, x = 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} & = 3 {(1 + u^{2})}^{2} (2 u) = 6 u {(1 + u^{2})}^{2} \\ \frac{d u}{d x} & = 2 \\ \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} \\ = 6 u {(1 + u^{2})}^{2} \times (2) \\ = 12 (2 x - 1) {(1 + (2 x - 1)^{2})}^{2} \end{aligned}$

${\frac{d y}{d x} |}_{x = 1} = 12 (2 - 1) {(1 + (2 - 1)^{2})}^{2} = 48$

صناعة: يمثل الاقتران: C(x) = 1000 $\sqrt{x^{2} - 0.1 x}$ تكلفة إنتاج x من منتج معين (بآلاف الدنانير):

(19) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتجة.

$C^{'} (x) = \frac{1000 (2 x - 0 .1)}{2 \sqrt{x^{2} - 0 .1 x}} = \frac{1000 x - 50}{\sqrt{x^{2} - 0 .1 x}}$

(20) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتجة عندما يكون عدد القطع المنتجة 20 قطعة.

$C^{'} (20) = \frac{1000 (20) - 50}{\sqrt{(20)^{2} - 0 .1 (20)}} = \frac{19950}{\sqrt{398}} \approx 1000$

علوم: يمثل الاقتران:N(t) = 400 (1 - $\frac{3}{{(t^{2} + 2)}^{2}}$ ) عدد الخلايا البكتيرية بعد t يوماً في مجتمع بكتيري:

(21) أجد معدل تغير N بالنسبة إلى t عندما t = 1 .

$\begin{aligned} N (t) = 400 (1 - 3 {(t^{2} + 2)}^{- 2}) \\ N^{'} (t) = 400 (6 {(t^{2} + 2)}^{- 3} (2 t)) = \frac{4800 t}{{(t^{2} + 2)}^{3}} \\ N^{'} (1) = \frac{4800}{(1 + 2)^{3}} \approx 178 \end{aligned}$

(22) أجد معدل تغير N بالنسبة إلى t عندما t = 4 .

$N^{'} (4) = \frac{4800 (4)}{(16 + 2)^{3}} \approx 3$

إذا كان: $g (2) = - 3, g^{'} (2) = 6, h (3) = 2, h^{'} (3) = - 2$ ، فأجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عندما x = 3 :

(23) $f (x) = g (h (x))$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = g^{'} (h (x)) \times h^{'} (x) \\ f^{'} (3) & = g^{'} (h (3)) \times h^{'} (3) \\ = g^{'} (2) \times - 2 \\ = 6 \times - 2 = - 12 \end{aligned}$

(24) $f (x) = (h (x))^{3}$

$\begin{aligned} h^{'} (x) & = f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x) \\ h^{'} (2) & = f^{'} (g (2)) \times g^{'} (2) \\ = f^{'} (3) \times - 1 \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025