أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

مشتقتا الضرب والقسمة

مشتقة ضرب اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة 65

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = (x^{3} + 4) (7 x^{2} - 4 x)$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (x^{3} + 4) (14 x - 4) + (7 x^{2} - 4 x) (3 x^{2}) \\ = 14 x^{4} - 4 x^{3} + 56 x - 16 + 21 x^{4} - 12 x^{3} \\ = 35 x^{4} - 16 x^{3} + 56 x - 16 \end{aligned}$

(b) $f (x) = (\sqrt{x} + 1) (3 x - 2)$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (\sqrt{x} + 1) (3) + (3 x - 2) (\frac{1}{2 \sqrt{x}}) \\ = 3 \sqrt{x} + 3 + \frac{3 x}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \\ = 3 \sqrt{x} + 3 + \frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \\ = \frac{9}{2} \sqrt{x} + 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} \end{aligned}$

مشتقة قسمة اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة 67

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(x - 2) (3) - (3 x + 1) (1)}{(x - 2)^{2}} \\ = \frac{3 x - 6 - 3 x - 1}{(x - 2)^{2}} \\ = \frac{- 7}{(x - 2)^{2}} \end{aligned}$

(b) $f (x) = \frac{x^{- 3}}{x^{2} + 1}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(x^{2} + 1) (- 3 x^{- 4}) - (x^{- 3}) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \\ = \frac{- 3 x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 2 x^{- 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \\ = \frac{- 5 x^{- 2} - 3 x^{- 4}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \end{aligned}$

أتحقق من فهمي صفحة 68

سكان: يُمثل عدد سكان بلدة صغيرة بالاقتران: $P (t) = \frac{5}{2 t^{2} + 9}$ ، حيث t الزمن بالسنوات منذ الآن، و P عدد السكان بالآلاف:

(a) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن t .

$\begin{aligned} P^{'} (t) & = \frac{(2 t^{2} + 9) (0) - (5) (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}} \\ = \frac{- 20 t}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}} \end{aligned}$

(b) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما= 2 t ، مفسّراً معنى الناتج.

$P^{'} (2) = \frac{- 40}{(8 + 9)^{2}} = \frac{- 40}{289} \approx - 0 .14$

يتناقص عدد السكان بمعدل 140 نسمة لكل سنة بعد سنتين من الآن.

مشتقة المقلوب

أتحقق من فهمي صفحة 70

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = \frac{1}{1 - x^{3}}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{- (1) (- 3 x^{2})}{{(1 - x^{3})}^{2}} \\ = \frac{3 x^{2}}{{(1 - x^{3})}^{2}} \end{aligned}$

(b) $f (x) = \frac{3}{2 x + 1}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{- (3) (2)}{(2 x + 1)^{2}} \\ = \frac{- 6}{(2 x + 1)^{2}} \end{aligned}$

مشتقتا الضرب والقسمة وقاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة 71

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = 20 x {(4 x^{3} - 1)}^{6}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (20 x) \times 6 {(4 x^{3} - 1)}^{5} (12 x^{2}) + {(4 x^{3} - 1)}^{6} (20) \\ = {(4 x^{3} - 1)}^{5} (1520 x^{3} - 20) \end{aligned}$

(b) $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{(x + 2)^{4}}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = & \frac{(x + 2)^{4} (2 x) - (x^{2} - 1) \times 4 (x + 2)^{3} \times 1}{(x + 2)^{8}} \\ = \frac{2 x (x + 2)^{4} - 4 (x^{2} - 1) (x + 2)^{3}}{(x + 2)^{8}} \\ = \frac{- 2 x^{2} + 4 x + 4}{(x + 2)^{5} (2 x (x + 2) - 4 (x^{2} - 1))} \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025