حمّل تطبيق منهاجي الجديد

منهاجي صار أسرع من خلال التطبيق

  أتدرب وأحل المسائل - 2

أتدرب وأحل المسائل

الأسئلة (21 - 34)

الاشتقاق

(21) أجد قيمة x التي يكون عندها المماس أفقياً لمنحنى الاقتران: begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of x minus 2 x end style

 

Error converting from MathML to accessible text.

 

 

(22) اختيار من متعدد: أي الآتية تمثل معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals sin invisible function application space x plus cos invisible function application space x end style عندما x = π ؟

(a) -x + π - 1

(b) x - π - 1

(c) x - π + 1

(d) x + π + 1

begin mathsize 20px style f left parenthesis x right parenthesis equals s i n invisible function application space x plus c o s invisible function application space x not stretchy rightwards arrow f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis equals c o s invisible function application space x minus s i n invisible function application space x end style

عندما x = π ، فإن:

y = f (π) = sin π + cos π = -1

ميل المماس عند النقطة (π, -1) هو: 

Error converting from MathML to accessible text.(π) = cos π - sin π = -1

بما أن ميل المماس هو -1 إذن ميل العمودي على المماس هو 1 

معادلة العمودي على المماس:

y + 1 = 1 (x – π)   →  y = x – π - 1

الإجابة الصحيحة هي: b

 

(23) إذا كان: f(x) = ln (kx) ، حيث k عدد حقيقي موجب، و  x > 0 ، فأبيّن أن begin mathsize 20px style f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis equals 1 over x end style .

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell f left parenthesis x right parenthesis equals l n invisible function application space k x equals l n invisible function application space k plus l n invisible function application space x end cell row blank cell f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis equals 0 plus 1 over x equals 1 over x end cell end table end style

 

إذا كان الاقتران: f(x) = ln (x) ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(24) أثبت أنّ مماس منحنى الاقتران عند النقطة (e, 1) يمر بنقطة الأصل.

begin mathsize 20px style f to the power of straight prime left parenthesis x right parenthesis equals 1 over x end style

ميل المماس عند النقطة (e, 1) هو: 

begin mathsize 20px style f to the power of straight prime left parenthesis e right parenthesis equals 1 over e end style

معادلة المماس هي: 

begin mathsize 20px style y minus 1 equals 1 over e left parenthesis x minus e right parenthesis not stretchy rightwards arrow y equals 1 over e x end style

وهو مستقيم يمر بنقطة الأصل؛ لأن النقطة (0, 0) تحقق معادلته.

 

(25) أثبت أنّ المقطع x للعمودي على المماس لمنحى الاقتران عند النقطة (e, 1) هو begin mathsize 20px style e plus 1 over e end style

بما أن ميل المماس هو begin mathsize 20px style 1 over e end style ، فإن ميل العمودي على المماس هو -e

معادلة العمودي على المماس:

y - 1 = -e (x – e)   →  y = -ex + e2 + 1

لإيجاد المقطع x لهذا المستقيم نضع y = 0 في معادلته:

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell 0 equals negative e x plus e squared plus 1 end cell row blank cell e x equals e squared plus 1 not stretchy rightwards arrow x equals fraction numerator e squared plus 1 over denominator e end fraction equals e plus 1 over e end cell end table end style

 

يمثل الاقتران: begin mathsize 20px style s left parenthesis t right parenthesis equals t cubed minus 4 t squared plus 5 t space comma space t greater or equal than 0 end style موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(26) أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما t = 5 .

begin mathsize 20px style table attributes columnalign left left columnspacing 1em end attributes row cell s left parenthesis t right parenthesis equals t cubed minus 4 t squared plus 5 t end cell blank row cell v left parenthesis t right parenthesis equals 3 t squared minus 8 t plus 5 end cell cell not stretchy rightwards arrow v left parenthesis 5 right parenthesis equals 40 straight m divided by straight s end cell row cell a left parenthesis t right parenthesis equals 6 t minus 8 end cell cell not stretchy rightwards arrow a left parenthesis 5 right parenthesis equals 22 straight m divided by straight s squared end cell end table end style

 

(27) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell v left parenthesis t right parenthesis equals 3 t squared minus 8 t plus 5 equals 0 end cell row blank cell left parenthesis 3 t minus 5 right parenthesis left parenthesis t minus 1 right parenthesis equals 0 end cell row blank cell not stretchy rightwards arrow t equals 5 over 3 s space text or  end text t equals 1 straight s end cell end table end styl

 

(28) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 4 .

begin mathsize 20px style v left parenthesis 4 right parenthesis equals 21 straight m divided by straight s end style

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك لليمين عندما t = 4 .

 

(29) متى يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي؟

موقع الابتدائي للجسم: s(0) = 0 m

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell s left parenthesis t right parenthesis equals 0 end cell cell not stretchy rightwards arrow t cubed minus 4 t squared plus 5 t equals 0 end cell row blank cell not stretchy rightwards arrow t left parenthesis t squared minus 4 t plus 5 right parenthesis equals 0 end cell row blank cell not stretchy rightwards arrow t equals 0 end cell end table end style

العبارة التربيعية t2 – 4t + 5 مميزها سالب، وبالتالي لا تساوي صفراً.

إذن لا يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي أبداً.

 

يمثل الاقتران: begin mathsize 20px style bold italic s bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic e to the power of bold t bold minus bold 4 bold italic t bold space bold comma bold space bold italic t bold greater or equal than bold 0 end style موقع جُسيم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(30) أحدد الموقع الابتدائي للجسيم.

begin mathsize 20px style s left parenthesis 0 right parenthesis equals e to the power of 0 minus 4 left parenthesis 0 right parenthesis equals 1 m end style

 

(31) أجد تسارع الجسيم عندما تكون سرعته المتجهة صفراً.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell v left parenthesis t right parenthesis equals e to the power of t minus 4 end cell row blank cell v left parenthesis t right parenthesis equals 0 not stretchy rightwards arrow e to the power of t equals 4 not stretchy rightwards arrow t equals l n invisible function application 4 end cell row blank cell a left parenthesis t right parenthesis equals e to the power of t not stretchy rightwards arrow a left parenthesis l n invisible function application 4 right parenthesis equals e to the power of l n invisible function application 4 end exponent equals 4 straight m divided by straight s squared end cell end table end style

 

زنبرك: يتحرك جسم معلق بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل، ويحدد الاقتران: s(t) = 4 cos t موقع الجسم عند أي زمن لاحق، حيث t الزمن بالثواني، و s الموقع بالأمتار:

(32) أجد اقتراناً يمثل سرعة الجسم المتجهة، واقتراناً آخر يمثل تسارعه عند أي لحظة.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell s left parenthesis t right parenthesis equals 4 c o s invisible function application space t end cell row blank cell v left parenthesis t right parenthesis equals negative 4 s i n invisible function application space t end cell row blank cell a left parenthesis t right parenthesis equals negative 4 c o s invisible function application space t end cell end table end style

 

(33) أجد سرعة الجسم المتجهة وتسارعه عندما t = begin mathsize 20px style straight pi over 4 end style .

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell v left parenthesis pi over 4 right parenthesis equals negative 4 s i n invisible function application space pi over 4 equals negative 4 cross times fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction equals negative 2 square root of 2 straight m divided by straight s end cell row blank cell a left parenthesis pi over 4 right parenthesis equals negative 4 c o s invisible function application space pi over 4 equals negative 4 cross times fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction equals negative 2 square root of 2 straight m divided by straight s squared end cell end table end style

 

(34) أصف حركة الجسم.

من خصائص اقتران s(t) = 4 cos t نعرف أن الجسم يتحرك بمرور الزمن صعوداً وهبوطاً بين الموقعين s = 4 m , s = -4m  وأنه يمر بنقطة الاتزان s = 0 أثناء هذه الحركة عندما t = begin mathsize 20px style fraction numerator n straight pi over denominator 2 end fraction end style حيث n أي عدد فردي موجب.

تتغير سرعة الجسم بمرور الزمن ونعرف من خصائص الاقتران v(t) = -4 sin t أن قيم السرعة تتراوح بين 4 m/s , -4 m/s ونلاحظ أن الجسم يصل إلى هذه السرعة عند اللحظات التي يمر فيها بنقطة الاتزان.

نلاحظ أن قيمة تسارع الجسم عند كل لحظة تساوي معكوس قيمة اقتران الموقع عند تلك اللحظة، وأن التسارع ينعدم عند مرور الجسم بنقطة الاتزان حيث تكون محصلة القوى المؤثرة في الجسم صفراً.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات