إجابات كتاب التمارين

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) f(x) =

f ’(x) =

(2) f(x) = -cos x – sin x

f ’(x) = csc x cot x – cos x

(3) f(x) =

f (x) =  , x ≠ 0

f ’(x) = =  , x ≠ 0

(4) f(x) = x cos x

f ’(x) = -x csc² x + cot x

(5) f(x) = 4x – x² tan x

f ’(x) = 4 – x² sec² x – 2x tan x

(6) f(x) =

f ’(x) =  =

(7) f(x) = x (1 - )

f (x) = x –

f ’(x) = 1 -  = 1 -

(8) f(x) =

f ’(x) =  =

(9) f(x) = (x + 1) e^x

f ’(x) = (x + 1) e^x + e^x = (x + 2) e^x

أجد معادلة المماس لكل اقتران ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:

(10) f(x) = x² cos x , ( , 0)

f ’(x) = -x² sin x + 2x cos x

ميل المماس:

f ’() = -

معادلة المماس:

y - 0 = - (x - ) →  y = -  x +

(11) f(x) =  , (π , -1)

f ’(x) =  = 

ميل المماس:

f ’(π) =  = 1

معادلة المماس:

y +1 =  1(x - π) →  y = x – π - 1

أجد إحداثيي النقطة (النقاط) التي يكون عندها لمنحنى كل اقتران ممّا يأتي مماس أفقي:

(12) f(x) =  

f ’(x) =  =  = 0  → x = 1

النقطة المطلوبة هي:

(1, f(1)) = (1, 1)

(13) h(x) =  

h’(x) =   = = 0 →  x = 0

النقطة المطلوبة هي:

(0, h(0)) = (0, 0)

(14) g(x) =  

g’(x) =  =  = = 0  →  x = 3

النقطة المطلوبة هي:

(3, g(3)) = (3,)

يبين الشكل المجاور منحنيي الاقترانين: f(x) ، و g(x) . إذا كان: u(x) = f(x)g(x) ، وكان:  v(x) = ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(15) u’(1)

u’(1) = f(1)g’(1) + g(1)f ’(1) = 2 x 1 + 3 x  = 3 

(16) v’(4)

v’(4) =  =  = -

(17) إذا كان: f(x) = x sec x ، فأثبت أنّ f ’(x) = sec x (1 + x tan x) .

f ’(x) = x sec x tan x + sec x = sec x (1 + x tan x)

(18) إذا كان: f(x) =  ، حيث: x > 0 ، فأجد f ’(x) ، و f ’’(x) .

f ’(x) = = = -

f ’’(x) = -  - = 

يمثل الاقتران: v(t) =  , t 0 السرعة المتجهة لسيّارة بدأت الحركة في مسار مستقيم، حيث تقاس v بالقدم لكل ثانية:

(19) أجد تسارع السيّارة عندما t = 5 .

a(t) =

a(5) =  = -0.032 ft/s²

(20) أجد تسارع السيّارة عندما t = 20 .

a(20) =  ≈ -0.007 ft/s²

(21) يعطى طول مستطيل بالمقدار 6t + 5 ، ويعطى عرضه بالمقدار  ، حيث t الزمن بالثواني، والأبعاد بالسنتمترات. أجد معدل تغيّر مساحة المستطيل بالنسبة إلى الزمن.

A =  (6t + 5) = 6 + 5

=  9 +    = 9 +   cm²/s