أتدرب وأحل المسائل - 2

أتدرب وأحل المسائل

قاعدة السلسلة الأسئلة (25 - 41)

بكتيريا: يمثل الاقتران: A(t) = Ne^0.1t عدد الخلايا البكتيرية بعد t ساعة في مجتمع بكتيري:

(25) أجد معدل نمو المجتمع بعد 3 ساعات بدلالة الثابت N .

$\begin{aligned} A (t) = N e^{0 .1 t} \\ A^{'} (t) = 0 .1 N e^{0 .1 t} \\ A^{'} (3) = 0 .1 N e^{0 .3} \end{aligned}$

(26) إذا كان معدل نمو المجتمع بعد k ساعات هو 0.2 خلية لكل ساعة، فما قيمة k بدلالة الثابت N .

$\begin{aligned} A^{'} (k) = 0 .1 N e^{0 .1 k} \\ 0 .2 = 0 .1 N e^{0 .1 k} \\ e^{0 .1 k} = \frac{0 .2}{0 .1 N} = \frac{2}{N} \\ 0 .1 k = l n \frac{2}{N} \to k = 10 l n \frac{2}{N} \end{aligned}$

أجد المشتقة العليا المطلوبة في كلّ ممّا يأتي:

(27) $f (x) = \sin π x, f^{'''} (x)$

$\begin{aligned} f (x) = s i n π x \\ f^{'} (x) = π c o s π x \\ f^{''} (x) = - π^{2} s i n π x \\ f^{'''} (x) = - π^{3} c o s π x \end{aligned}$

(28) $f (x) = \cos (2 x + 1), f^{(5)} (x)$

$\begin{aligned} f (x) = c o s (2 x + 1) \\ f^{'} (x) = - 2 s i n (2 x + 1) \\ f^{''} (x) = - 4 c o s (2 x + 1) \\ f^{'''} (x) = 8 s i n (2 x + 1) \\ f^{(4)} (x) = 16 c o s (2 x + 1) \\ f^{(5)} (x) = - 32 s i n (2 x + 1) \end{aligned}$

(29) $f (x) = \cos x^{2}, f^{''} (x)$

$\begin{aligned} f (x) = c o s x^{2} \\ f^{'} (x) = - 2 x s i n x^{2} \\ f^{''} (x) = (- 2 x) (2 x c o s x^{2}) + (s i n x^{2}) (- 2) \\ = - 4 x^{2} c o s x^{2} - 2 s i n x^{2} \end{aligned}$

(30) إذا كان الاقتران: y = e^{sin x} ، فأجد ميل مماس منحنى الاقتران عند النقطة (0, 1).

$\begin{aligned} y = e^{s i n x} \\ \frac{d y}{d x} = e^{s i n x} c o s x \end{aligned}$

ميل المماس هو:

$m = {\frac{d y}{d x} |}_{x = 0} = e^{s i n 0} c o s 0 = 1$

(31) مواد مشعّة: يمكن نمذجة الكمية A (بالغرام) المتبقية من عينة كتلتها الابتدائية 20 g من عنصر البلوتونيوم بعد t يوماً باستعمال الاقتران: $A (t) = 20 {(\frac{1}{2})}^{t / 140}$ . أجد معدل تحلل عنصر البلوتويوم عند t = 2 .

$\begin{aligned} A (t) = 20 {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{140}} \\ A^{'} (t) = \frac{20}{140} (l n \frac{1}{2}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{140}} \\ A^{'} (2) = \frac{20}{140} (l n \frac{1}{2}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{140}} \approx - 0 .098 \end{aligned}$

إذن يتحلل البلوتونيوم بمعدل 0.098 g كلّ يوم عندما t = 2 .

زنبرك: تتحرك كرة معلقة بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل، ويحدد الاقتران: s(t) = 0.1 sin 2.4t موقع الكرة عند أيّ زمن لاحق، حيث t الزمن بالثواني، و s الموقع بالسنتيمترات.

(32) أجد السرعة المتجهة للكرة عندما t = 1 .

$\begin{aligned} s (t) = 0 .1 s i n 2 .4 t \\ v (t) = 2 .4 \times 0 .1 c o s 2 .4 t = 0 .24 c o s 2 .4 t \\ v (1) = 0 .24 c o s 2 .4 \approx - 0 .177 cm / s \end{aligned}$

(33) أجد موقع الكرة عندما تكون سرعتها صفراً.

$\begin{aligned} v (t) = 0 & \to 0 .24 c o s 2 .4 t = 0 \\ \to c o s 2 .4 t = 0 \end{aligned}$

وهذا يعني أنّ:

$| s i n 2 .4 t | = 1$

أي أنّ:

$s i n 2 .4 t = 1, or - 1$

لكن موقع الكرة هو:

$s (t) = 0 .1 s i n 2 .4 t$

وبتعويض قيمة sin 2.4t نجد أن الموقع هو:

$s = 0 .1 (1) = 0 .1 or, s = 0 .1 (- 1) = - 0 .1$

إذن، عندما تكون سرعة الكرة صفراً يكون موقعها عند 0.1 cm أو -0.1 cm

(34) أجد موقع الكرة عندما تكون تسارعها صفراً.

$\begin{aligned} a (t) = - 0 .24 \times 2 .4 s i n 2 .4 t = - 0 .576 s i n 2 .4 t \\ a (t) = 0 \to s i n 2 .4 t = 0 \end{aligned}$

لكن موقع الكرة هو:

$s (t) = 0 .1 s i n 2 .4 t$

وبتعويض قيمة sin 2.4t نجد أن الموقع هو: s = 0.1(0) = 0

إذن، عندما تكون تسارع الكرة صفراً يكون موقعها عند s = 0 ، أي عند مرورها بموقع الاتزان.

أجد معادلة المماس لمنحى كل معادلة وسيطية مما يأتي عند النقطة المحددة بقيمة t المعطاة:

(35) x = t + 2 , y = t² – 1 , t = 1

$\begin{aligned} \frac{d y}{d t} = 2 t, \frac{d x}{d t} = 1 \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{2 t}{1} = 2 t \end{aligned}$

ميل المماس:

$m = {\frac{d y}{d x} |}_{t = 1} = 2 \times 1 = 2$

نقطة التماس:

$x = 1 + 2 = 3, y = (1)^{2} - 1 = 0$

معادلة المماس:

$y - 0 = 2 (x - 3) \to y = 2 x - 6$

(36) $x = \frac{t}{2}, y = t^{2} - 4, t = - 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d t} = 2 t, \frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{2 t}{\frac{1}{2}} = 4 t \end{aligned}$

ميل المماس:

$m = {\frac{d y}{d x} |}_{t = - 1} = 4 \times - 1 = - 4$

نقطة التماس:

$x = - \frac{1}{2}, y = (- 1)^{2} - 4 = - 3$

معادلة المماس:

$y + 3 = - 4 (x + \frac{1}{2}) \to y = - 4 x - 5$

(37) $x = t - \sin t, y = 1 - \cos t, t = \frac{π}{3}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d t} = s i n t, \frac{d x}{d t} = 1 - c o s t \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{s i n t}{1 - c o s t} \end{aligned}$

ميل المماس:

$m = {\frac{d y}{d x} |}_{t = \frac{π}{3}} = \frac{\sin \frac{π}{3}}{1 - \cos \frac{π}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

نقطة التماس:

$x = \frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

معادلة المماس:

$y - \frac{1}{2} = \sqrt{3} (x - \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \to y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2$

(38) $x = \sec^{2} t - 1, y = \tan t, t = - \frac{π}{4}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d t} = s e c^{2} t, \frac{d x}{d t} = 2 \times s e c t \times s e c t t a n t = 2 s e c^{2} t t a n t \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{s e c^{2} t}{2 s e c^{2} t t a n t} = \frac{1}{2} c o t t \end{aligned}$

ميل المماس:

$m = {\frac{d y}{d x} |}_{t = - \frac{π}{4}} = \frac{1}{2} \cot (- \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$

نقطة التماس:

$x = s e c^{2} (- \frac{π}{4}) - 1 = 1, y = t a n (- \frac{π}{4}) = - 1$

معادلة المماس:

$y + 1 = - \frac{1}{2} (x - 1) \to y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

(39) يعطى منحنى بالمعادلة الوسيطية: $x = 2 (t - \sin t), y = 2 (1 - \cos t)$ ، حيث: $0 \leq t \leq 2 π$ . أثبت أن ميل المماس وميل العمودي على المماس لمنحى هذه العلاقة عندما $t = \frac{π}{4}$ هما: $1 - \sqrt{2} g \cdot 1 + \sqrt{2}$ على الترتيب.

$\begin{aligned} \frac{d y}{d t} = 2 \sin t, \frac{d x}{d t} = 2 (1 - \cos t) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{2 \sin t}{2 (1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} \end{aligned}$

ميل المماس:

$\begin{aligned} m = {\frac{d y}{d x} |}_{t = \frac{π}{4}} & = \frac{\sin \frac{π}{4}}{1 - \cos \frac{π}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} \\ = \sqrt{2} + 1 \end{aligned}$

ميل العمودي على المماس:

$m = \frac{- 1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = 1 - \sqrt{2}$

يبين الشكل المجاور منحنيي الاقترانين f(x) و g(x) . إذا كان:

h(x) = f(g(x)) ، وكان: p(x) = g(f(x)) ، فأجد كلاً مما يأتي:

(40) h' (1)

$h^{'} (1) = f^{'} (g (1)) \times g^{'} (1) = f^{'} (4) \times g^{'} (1)$

g' (1) ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (3, 2) و (0, 5) ويساوي -1

f ' (4) ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (5, 3) و (2, 4) ويساوي - $\frac{1}{3}$

$h^{'} (1) = - \frac{1}{3} \times - 1 = \frac{1}{3}$

(41) p' (1)

$p^{'} (1) = g^{'} (f (1)) \times f^{'} (1) = g^{'} (2) \times f^{'} (1)$

g' (2) ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (3, 2) و (0, 5) ويساوي -1

f ' (1) ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (0, 0) و (2, 4) ويساوي 2

$p^{'} (1) = - 1 \times 2 = - 2$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025