مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

تكامل اقترانات خاصة

تبرير: أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلين البيانيين الآتيين، مبرراً إجابتي;

$\begin{aligned} \sin x = 0 \Rightarrow x = 0, π, 2 π \\ A = \int_{0}^{π} \sin x d x + (- \int_{π}^{2 π} \sin x d x) = {(- \cos x) |}_{0}^{π} + {(\cos x) |}_{π}^{2 π} \\ = - \cos π + \cos 0 + \cos 2 π - \cos π = 4 \end{aligned}$

ملحوظة: يمكن الاستفادة من التماثل وإيجاد المساحة المطلوبة كما يأتي:

$A = 2 \int_{0}^{π} \sin x d x = {2 (- \cos x) |}_{0}^{π} = 2 (- \cos π + \cos 0) = 2 (2) = 4$

$\begin{aligned} \sin 2 x = 0 \Rightarrow x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π \\ A = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x + (- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin 2 x d x) + \int_{π}^{\frac{3 π}{2}} \sin 2 x d x \\ + (- \int_{\frac{3 π}{2}}^{2 π} \sin 2 x d x) \end{aligned}$

والأسهل هو الاستفادة من التماثل وإيجاد المساحة المطلوبة كما يأتي:

$A = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x = - {2 \cos 2 x |}_{0}^{\frac{π}{2}} = - 2 (- 1 - 1) = 4$

تحد: أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int \frac{\sec x}{\sin x - \cos x} d x$ (54)

$\begin{aligned} \int \frac{\sec x}{\sin x - \cos x} d x & = \int \frac{\frac{\sec x}{\cos x}}{(\frac{\sin x}{\cos x} - 1)} d x \\ = \int \frac{\sec^{2} x}{(\tan x - 1)} d x \\ = \ln | \tan x - 1 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{\cot x}{2 + \sin x} d x$ (55)

$\begin{aligned} \int \frac{\cot x}{2 + \sin x} d x & = \int \frac{\cot x \csc x}{2 \csc x + 1} d x \\ = - \frac{1}{2} \int \frac{- 2 \cot x \csc x}{2 \csc x + 1} d x \\ = - \frac{1}{2} \ln | 2 \csc x + 1 | + C \\ = - \frac{1}{2} \ln | 2 \csc x + 1 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{1}{x \ln x^{3}} d x$ (56)

$\int \frac{1}{x \ln x^{3}} d x = \int \frac{1}{3 x \ln x} d x = \frac{1}{3} \int \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} d x = \frac{1}{3} \ln | \ln x | + C$

(57) تبرير: إذا كان: $\int_{1}^{a} (\frac{1}{x} - \frac{1}{2 x + 3}) d x = 0.5 \ln 5$ ، فأجد قيمة الثابت a، حيث: $a > 0$ .

$\begin{aligned} \int_{1}^{a} (\frac{1}{x} - \frac{1}{2 x + 3}) d x & = {(l n | x | - \frac{1}{2} l n | 2 x + 3 |) |}_{1}^{a} \\ = (l n a - \frac{1}{2} l n (2 a + 3)) - (- \frac{1}{2} l n 5) \\ = l n a - \frac{1}{2} l n (2 a + 3) + \frac{1}{2} l n 5 \\ = l n \frac{a}{\sqrt{2 a + 3}} + \frac{1}{2} l n 5 \end{aligned} \begin{aligned} \Rightarrow l n \frac{a}{\sqrt{2 a + 3}} + \frac{1}{2} l n 5 = 0.5 l n 5 \\ \Rightarrow l n \frac{a}{\sqrt{2 a + 3}} = 0 \\ \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2 a + 3}} = 1 \\ \Rightarrow a = \sqrt{2 a + 3} \\ \Rightarrow a^{2} = 2 a + 3 \\ \Rightarrow a^{2} - 2 a - 3 = 0 \\ \Rightarrow (a - 3) (a + 1) = 0 \\ \Rightarrow a = 3, a = - 1 (a > 0 لأن مرفوضة) \end{aligned}$

(58) تبرير: أثبت بطريقتين مختلفتين أن: $\int_{0}^{π / 4} \cos x \cos 3 x d x - \int_{0}^{π / 4} \sin x \sin 3 x d x = 0$ .

طريقة أولى:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos x \cos 3 x d x & = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos 4 x + \cos 2 x) d x \\ = {(\frac{1}{8} \sin 4 x + \frac{1}{4} \sin 2 x) |}_{0}^{\frac{π}{4}} \\ = (\frac{1}{8} \sin π + \frac{1}{4} \sin \frac{π}{2}) - (0 + 0) = \frac{1}{4} \dots \dots \dots . . (1) \end{aligned} \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin x \sin 3 x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos 2 x - \cos 4 x) d x \\ = {(\frac{1}{4} \sin 2 x - \frac{1}{8} \sin 4 x) |}_{0}^{\frac{π}{4}} \\ = (\frac{1}{4} \sin \frac{π}{2} - \frac{1}{8} \sin π) - (0 - 0) = \frac{1}{4} \dots \dots \dots \dots (2) \\ \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos x \cos 3 x d x - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin x \sin 3 x d x = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \end{aligned}$

طريقة ثانية:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos x \cos 3 x d x - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin x \sin 3 x d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos x \cos 3 x - \sin x \sin 3 x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x + 3 x) d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 4 x d x = {\frac{1}{4} \sin 4 x |}_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{4} (\sin π - \sin 0) = 0 \end{aligned}$

(59) تبرير: إذا كان: $\int_{π / 4 k}^{π / 3 k} (1 - π \sin k x) d x = π (7 - 6 \sqrt{2})$ ، فأجد قيمة الثابت k، مبرراً إجابتي.

$\begin{aligned} \int_{\frac{π}{4 k}}^{\frac{π}{3 k}} (1 - π \sin k x) d x = {(x + \frac{π}{k} \cos k x) |}_{\frac{π}{4 k}}^{\frac{π}{3 k}} \\ = \frac{π}{3 k} + \frac{π}{k} \cos \frac{π}{3} - \frac{π}{4 k} - \frac{π}{k} \cos \frac{π}{4} \\ = \frac{π}{k} (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{π}{12 k} (7 - 6 \sqrt{2}) \\ \Rightarrow \frac{π}{12 k} (7 - 6 \sqrt{2}) = π (7 - 6 \sqrt{2}) \\ \Rightarrow k = \frac{1}{12} \end{aligned}$

تحد: يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران:

$v (t) = {\begin{cases} 2 t + 4 & , 0 \leq t \leq 6 \\ 20 - (t - 8)^{2} & , 6 < t \leq 10 \end{cases}$

حيث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد كلاً مما يأتي:

(60) موقع الجسيم بعد 5 ثوان من بدء الحركة.

$\begin{aligned} v (t) = {\begin{array}{cc} 2 t + 4, & 0 \leq t \leq 6 \\ 16 t - t^{2} - 44, & 6 < t \leq 10 \end{array} \\ s (t) = \int v (t) d t \end{aligned} \begin{aligned} s (t) = \int (2 t + 4) d t = t^{2} + 4 t + C_{1} (0 \leq t \leq 6 عندما) \\ s (0) = 0 \Rightarrow C_{1} = 0 \\ \Rightarrow s (t) = t^{2} + 4 t, 0 \leq t \leq 6 \\ s (5) = 25 + 20 = 45 m \end{aligned}$

(61) موقع الجسيم بعد 9 ثوان من بدء الحركة.

$s (t) = \int (16 t - t^{2} - 44) d t = 8 t^{2} - \frac{1}{3} t^{3} - 44 t + C_{2} (6 < t \leq 10 عندما)$

لإيجاد قيمة $C_{2}$ نستعمل موقع الجسم عند $t = 6$ موقعاً ابتدائياً بالنسبة للفترة $[6, 10]$ :

$s (6) = 8 (6)^{2} - \frac{1}{3} (6)^{3} - 44 (6) + C_{2}$

ونحسب $s (6)$ من اقتران الموقع الذي وجدناه في السؤال السابق بالنسبة للفترة $[0, 6]$ :

$\begin{aligned} s (t) = t^{2} + 4 t, 0 \leq t \leq 6 \\ s (6) = 6^{2} + 4 (6) = 60 \\ 60 = 8 (6)^{2} - \frac{1}{3} (6)^{3} - 44 (6) + C_{2} \\ 60 = - 48 + C_{2} \Rightarrow C_{2} = 108 \\ \Rightarrow s (t) = 8 t^{2} - \frac{1}{3} t^{3} - 44 t + 108, 6 < t \leq 10 \\ s (9) = 117 m \end{aligned}$

(62) تحد: يبين الشكل المجاور المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $y = \frac{1}{x + 3}$ ، والمحـور x، والمستقيمين: $x = 45, ، x = 0$ أجد قيمة k التي تقسم المنطقة المطلقة إلى منطقتين متساويتين في الساحة.

$\begin{aligned} \begin{aligned} A = \int_{0}^{45} \frac{1}{x + 3} d x & = l n ∣ x + 3 ∥_{0}^{45} \\ = l n 48 - l n 3 = l n 16 \\ \frac{1}{2} A = \int_{0}^{k} \frac{1}{x + 3} d x & = l n ∣ x + 3 ∥_{0}^{k} \\ = l n (k + 3) - l n 3 \\ = l n \frac{k + 3}{3} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \Rightarrow \frac{1}{2} l n 16 = l n \frac{k + 3}{3} \end{aligned} \\ l n 16 \frac{1 / 2}{} = l n \frac{k + 3}{3} \\ \Rightarrow 4 = \frac{k + 3}{3} \Rightarrow k = 9 \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025