إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(1) $\int 4 e^{- 5 x} d x$

$\int 4 e^{- 5 x} d x = - \frac{4}{5} e^{- 5 x} + C$

(2) $\int (\sin 2 x - \cos 2 x) d x$

$\int (\sin 2 x - \cos 2 x) d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + C$

(3) $\int \cos^{2} 2 x d x$

$\int \cos^{2} 2 x d x = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 4 x) d x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin 4 x + C$

(4) $\int \frac{e^{x} + 4}{e^{2 x}} d x$

$\int \frac{e^{x} + 4}{e^{2 x}} d x = \int (e^{- x} + 4 e^{- 2 x}) d x = - e^{- x} - 2 e^{- 2 x} + C$

(5) $\int (\frac{\cos x}{\sin^{2} x} - 2 e^{x}) d x$

$\int (\cot x \csc x - 2 e^{x}) d x = - \csc x - 2 e^{x} + C$

(6) $\int (3 \cos 3 x - \tan^{2} x) d x$

$\begin{aligned} \int (3 \cos 3 x - \tan^{2} x) d x & = \int (3 \cos 3 x - (\sec^{2} x - 1)) d x \\ = \sin 3 x - \tan x + x + C \end{aligned}$

(7) $\int \cos x (1 + \csc^{2} x) d x$

$\begin{aligned} \int \cos 3 x (1 + \csc^{2} x) d x & = \int \cos x (1 + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x \\ = \int \cos x + \cot x \csc x d x = \sin x - \csc x + C \end{aligned}$

(8) $\int \frac{x^{2} + x - 4}{x + 2} d x$

$\int \frac{x^{2} + x - 4}{x + 2} d x = \int (x - 1 - \frac{2}{x + 2}) d x = \frac{1}{2} x^{2} - x - 2 \ln | x + 2 | + C$

(9) $\int \frac{1}{\sqrt{e^{x}}} d x$

$\int \frac{1}{\sqrt{e^{x}}} d x = \int e^{- \frac{1}{2} x} d x = - 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

(10) $\int (\frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{1}{x^{2}}) d x$

$\int (\frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{1}{x^{2}}) d x = \int (\sec^{2} x + x^{- 2}) d x = \tan x - \frac{1}{x} + C$

(11) $\int \frac{x^{2} - 2 x}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

$\int \frac{x^{2} - 2 x}{x^{3} - 3 x^{2}} d x = \frac{1}{3} \int \frac{3 x^{2} - 6 x}{x^{3} - 3 x^{2}} d x = \frac{1}{3} \ln | x^{3} - 3 x^{2} | + C$

(12) $\int \ln e^{\cos x} d x$

$\int \ln e^{\cos x} d x = \int \cos x d x = \sin x + C$

(13) $\int \sin^{2} \frac{x}{2} d x$

$\int \sin^{2} \frac{x}{2} d x = \frac{1}{2} \int (1 - \cos x) d x = \frac{1}{2} (x - \sin x) + C$

(14) $\int \frac{3}{2 x - 1} d x$

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x = \frac{3}{2} \int \frac{2}{2 x - 1} d x = \frac{3}{2} \ln | 2 x - 1 | + C$

(15) $\int \frac{3 - 2 \cos \frac{1}{2} x}{\sin^{2} \frac{1}{2} x} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{3 - 2 \cos \frac{1}{2} x}{\sin^{2} \frac{1}{2} x} d x & = \int (3 \csc^{2} \frac{1}{2} x - 2 \cot \frac{1}{2} x \csc \frac{1}{2} x) d x \\ = - 6 \cot \frac{1}{2} x + 4 \csc \frac{1}{2} x + C \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025