حمّل تطبيق منهاجي الجديد

منهاجي صار أسرع من خلال التطبيق
  مسألة اليوم

مسألة اليوم

المعادلات التفاضلية

سائل كيميائيتتغير درجة حرارة سائل كيميائي بارد، بعد وضعه في غرفة دافئة، بمعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: begin mathsize 20px style fraction numerator d A over denominator d t end fraction equals 2 left parenthesis 20 minus A right parenthesis end style، حيث begin mathsize 20px style A end style درجة حرارة السائل بمقياس سيلسيوس، وbegin mathsize 20px style t end style الزمن بالساعات:

(1) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد درجة حرارة السائل بعد begin mathsize 20px style t end style ساعة، علماً بأن درجة حرارته عند وضعه في الغرفة هي begin mathsize 20px style 5 to the power of ring operator straight C end style.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row blank cell fraction numerator d A over denominator d t end fraction equals 2 left parenthesis 20 minus A right parenthesis end cell row blank cell integral fraction numerator d A over denominator 20 minus A end fraction equals integral 2 d t end cell row blank cell negative ln invisible function application vertical line 20 minus A vertical line equals 2 t plus K end cell row blank cell negative ln invisible function application 15 equals 0 plus K not stretchy rightwards double arrow K equals negative ln invisible function application 15 end cell row blank cell not stretchy rightwards double arrow negative ln invisible function application vertical line 20 minus A vertical line equals 2 t minus ln invisible function application 15 end cell row blank cell not stretchy rightwards double arrow ln invisible function application vertical line fraction numerator 15 over denominator 20 minus A end fraction vertical line equals 2 t end cell end table end style

إذن، يمكن نمذدجة درجة الحرارة C بعد t ساعة بالعلاقة:

begin mathsize 20px style ln invisible function application vertical line fraction numerator 15 over denominator 20 minus A end fraction vertical line equals 2 t end style

(2) بعد كم ساعة تصبح درجة حرارة السائل begin mathsize 20px style 18 to the power of ring operator straight C end style؟ 

نعوض begin mathsize 20px style A equals 18 end style في العلاقة begin mathsize 20px style ln invisible function application vertical line fraction numerator 15 over denominator 20 minus A end fraction vertical line equals 2 t end style فينتج:

begin mathsize 20px style ln invisible function application vertical line fraction numerator 15 over denominator 20 minus 18 end fraction vertical line equals 2 t not stretchy rightwards double arrow t equals 1 half ln invisible function application 15 over 2 equals fraction numerator ln invisible function application 15 minus ln invisible function application 2 over denominator 2 end fraction almost equal to 1 end style

إذن، تصبح درجة حرارة السائل begin mathsize 20px style 18 to the power of ring operator straight C end style بعد مرور ساعة واحدة تقريباً بعد وضعه في الغرفة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات