أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المعادلات التفاضلية

أتحقق من فهمي صفحة (92):

أحدد إذا كان الاقتران المعطى حلاً للمعادلة التفاضلية: $y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 0$ في كل مما يأتي:

$y = 4 e^{x} + 5 e^{3 x}$ (a)

$\begin{aligned} y^{'} = 4 e^{x} + 15 e^{3 x} \\ y^{''} = 4 e^{x} + 45 e^{3 x} \\ y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 4 e^{x} + 45 e^{3 x} - 4 (4 e^{x} + 15 e^{3 x}) + 3 (4 e^{x} + 5 e^{3 x}) = 0 \end{aligned}$

إذن $y = 4 e^{x} + 5 e^{3 x}$ حل للمعادلة التفاضلية $y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 0$

$y = \sin x$ (b)

$\begin{aligned} y^{'} = \cos x \\ y^{''} = - \sin x \\ y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = - \sin x - 4 \cos x + 3 \sin x = 2 \sin x - 4 \cos x \neq 0 \end{aligned}$

إذن $y = \sin x$ ليس حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 0$

الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية

أتحقق من فهمي صفحة (94):

أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $\frac{d y}{d x} = 5 \sec^{2} x - \frac{3}{2} \sqrt{x}$ ، ثم أجد الحل الخاص لها الذي يحقق النقطة (0,7).

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 5 \sec^{2} x - \frac{3}{2} \sqrt{x} ⟹ d y = (5 \sec^{2} x - \frac{3}{2} \sqrt{x}) d x \\ \int d y = \int (5 \sec^{2} x - \frac{3}{2} \sqrt{x}) d x \end{aligned}$

الحل العام لهذه المعادلة هو:

$y = 5 \tan x - x^{\frac{3}{2}} + C$

لإيجاد الحل الخاص نعوض النقطة (0,7) في الحل العام:

$7 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 7$

الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الذي يحقق النقطة (0,7) هو:

$y = 5 \tan x - x^{\frac{3}{2}} + + 7$

حل المعادلات التفاضلية بفصل المتغيرات

أتحقق من فهمي صفحة (96):

أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y^{4}}$ (a)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y^{4}} \Rightarrow 2 x d x = y^{4} d y \\ \Rightarrow \int 2 x d x = \int y^{4} d y \Rightarrow \frac{1}{5} y^{5} = x^{2} + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = 2 x - x e^{y}$ (b)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 x - x e^{y} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x (2 - e^{y}) \\ \Rightarrow \frac{d y}{2 - e^{y}} = x d x \\ \Rightarrow \int x d x = \int \frac{1}{2 - e^{y}} \times \frac{e^{- y}}{e^{- y}} d y \\ \Rightarrow \int x d x = - \frac{1}{2} \int \frac{- 2 e^{- y}}{2 e^{- y} - 1} d y \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{2} = - \frac{1}{2} \ln | 2 e^{- y} - 1 | + C \Rightarrow x^{2} = - \ln | 2 e^{- y} - 1 | + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin x}{y}$ (c)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sin x}{y} \Rightarrow y d y & = x \sin x d x \\ \Rightarrow \int y d y = \int x \sin x d x \end{aligned}$

نجد $\int x \sin x d x$ بالأجزاء:

$\begin{aligned} u = x d v = \sin x d x \\ d u = d x v = - \cos x \\ \Rightarrow \int y d y = \int x \sin x d x \\ \Rightarrow \frac{1}{2} y^{2} = - x \cos x - \int - \cos x d x \\ \Rightarrow \frac{1}{2} y^{2} = - x \cos x + \sin x + C \end{aligned}$

$\sin^{2} x \frac{d y}{d x} = y^{2} \cos^{2} x$ (d)

$\begin{aligned} \sin^{2} x \frac{d y}{d x} = y^{2} \cos^{2} x \\ \sin^{2} x d y = y^{2} \cos^{2} x d x \\ \frac{d y}{y^{2}} = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} d x \Rightarrow \int y^{- 2} d y = \int \cot^{2} x d x \\ \int y^{- 2} d y = \int (\csc^{2} x - 1) d x \\ \Rightarrow \frac{- 1}{y} = - \cot x - x + C \Rightarrow \frac{1}{y} = x + \cot x + C \end{aligned}$

أتحقق من فهمي صفحة (98):

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل معادلة تفاضلية مما يأتي:

$\frac{d y}{d x} = x y^{2} e^{2 x}, y (0) = 1$ (a)

$\begin{aligned} d y = x y^{2} e^{2 x} d x \\ \int \frac{d y}{y^{2}} = \int x e^{2 x} d x \end{aligned}$

نجد $\int x e^{2 x} d x$ بالأجزاء:

$\begin{aligned} u = x d v = e^{2 x} d x \\ d u = d x v = \frac{1}{2} e^{2 x} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y^{2}} = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x \end{aligned}$

الحل العام هو:

$\Rightarrow - \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

بتعويض (0,1):

$- 1 = - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = - \frac{3}{4}$

الحل الخاص هو:

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} - \frac{3}{4}$

$\frac{d y}{d x} = y \cos x, y (\frac{π}{2}) = 1$ (b)

$\frac{d y}{y} = \cos x d x$

الحل العام هو:

$\int \frac{d y}{y} = \int \cos x d x \Rightarrow \ln | y | = \sin x + C$

بتعويض $(\frac{π}{2}, 1)$

$0 = 1 + C \Rightarrow C = - 1$

الحل الخاص:

$\ln | y | = \sin x - 1$

المعادلات التفاضلية والحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (100):

يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d s}{d t} = s t \sqrt{t + 1}$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $s$ موقع الجسيم بالأمتار. أجد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة، علما بأن $s (0) = 1$ .

$\begin{aligned} \frac{d s}{d t} = s t \sqrt{t + 1} \Rightarrow \frac{d s}{s} = t \sqrt{t + 1} d t \\ \int \frac{d s}{s} = \int t \sqrt{t + 1} d t \\ u = t + 1 \Rightarrow d u = d t, t = u - 1 \\ \int t \sqrt{t + 1} d t = \int (u - 1) \sqrt{u} d u = \int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u = \int (u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}) d u \\ = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = \frac{2}{5} (t + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (t + 1)^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}$

الموقع $b b b$ لا يمكن أن يكون 0 لأن $\ln 0$ غير معرف ولا يمكن أن يكون سالباً لأن $s (0) = 1$ واقتران الموقع متصل، ولذا يمكننا أن نحذف رمز القيمة المطلقة وتعتبر $\ln | s | = \ln s$ بتعريض $s = 1$ عندما $t = 0$ ينتج:

$\begin{aligned} 0 = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{4}{15} \\ \Rightarrow \ln s = \frac{2}{5} (t + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (t + 1)^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{15} \end{aligned}$

نعوض $t = 3$ لنجد s الموقع المطلوب:

$\ln s (3) = \frac{64}{5} - \frac{16}{3} + \frac{4}{15} = \frac{116}{15} \Rightarrow s (3) = e^{\frac{116}{15}}$

أتحقق من فهمي صفحة (102):

غزلان: يمكن نمذجة معدل تغير عدد الغزلان فـي إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d P}{d t} = \frac{1}{20000} P (1000 - P)$ ، حيث $P$ عدد الغزلان في الغابة بعد $t$ سنة من بدء دراسة عليها:

(a) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الغزلان في الغابة بعد سنة من بدء الدراسة، علماً بأن عددها عند بدء الدراسة هو 2500 غزال.

$\begin{aligned} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{20000} p (1000 - P) \\ \int \frac{d P}{P (1000 - P)} = \int \frac{1}{20000} d t \end{aligned}$

بتجزئة الكسر داخل التكامل في الطرف الأيسر:

$\int (\frac{\frac{1}{1000}}{P} + \frac{\frac{1}{1000}}{1000 - P}) d P = \int \frac{1}{20000} d t$

حل عام:

$\begin{aligned} \frac{1}{1000} \ln | P | - \frac{1}{1000} \ln | 1000 - P | = \frac{1}{20000} t + C \\ 20 \ln | P | - 20 \ln | 1000 - P | = t + C \\ 20 \ln | \frac{P}{1000 - P} | = t + C \end{aligned}$

بتعويض P=2500 عند t=0 ينتج:

$\begin{aligned} C = 20 \ln \frac{2500}{1500} = 20 \ln \frac{5}{3} \\ \Rightarrow 20 \ln | \frac{P}{1000 - P} | = t + 20 \ln \frac{5}{3} \end{aligned}$

(b) بعد كم سنة يصبح عدد الغزلان في الغابة 1800 غزال؟

نعويض P=1800 في المعادلة الأخيرة:

$\Rightarrow 20 \ln (\frac{9}{4}) = t + 20 \ln \frac{5}{3} \Rightarrow t = 20 \ln \frac{27}{20} \approx 6$

إذن، يصبح عدد الغزلان 1800 غزال بعد 6 سنوات تقريباً من بدء الدراسة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025