المتتاليات والمتسلسلات رياضيات حادي عشر أكاديمي

أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

المتتاليات والمتسلسلات

أكتب كل متسلسلة مما يأتي باستعمال رمز المجموع:

(1) 1 + 4 + 9 + … + 100

$\sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

(2) 2 + 4 + 6 + … + 20

$\sum_{k = 1}^{10} 2 k^{}$

(3) $\frac{1}{2}$ + $\frac{2}{3}$ + $\frac{3}{4}$ + … + $\frac{13}{14}$

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{k}{k + 1}$

(4) - $\frac{2}{3}$ + $\frac{4}{9}$ - $\frac{8}{27}$ + … + $\frac{64}{729}$

$\sum_{k = 1}^{6} {(\frac{- 2}{3})}^{k}$

أجد مجموع كل متسلسلة مما يأتي:

(5) $\sum_{n = 1}^{6} {(- 2)}^{n}$ = 42

(6) $\sum_{n = 1}^{4} \frac{n^{2} + 1}{n + 1}$ = $\frac{257}{30}$

(7) $\sum_{n = 1}^{2} \frac{1}{3^{n} + 1}$ = $\frac{7}{20}$

(8) $\sum_{k = 1}^{6} \frac{k^{2}}{2}$ = $\frac{91}{2}$

(9) $\sum_{k = 1}^{9} (12 k - 24)$ = 324

(10) $\sum_{k = 1}^{20} k^{3} - 1$ = 44080

أُحدّد إذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا:

(11) 10, 11, 14, 15, 18, 19, …

ليست حسابية.

(12) 12, 6, 0, -6, -12, …

حسابية أساسها -6

(13) 3, 5, 9, 15, 23, …

ليست حسابية.

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية مما يأتي، ثم أجد الحد الثلاثين منها:

(14) 25, 58, 91, 124, …

a_n = 33n – 8

a30 = 982

(15) -1, - $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{3}$ , 1, …

a_n = $\frac{2}{3}$ n – $\frac{5}{3}$

a₃₀ = $\frac{55}{3}$

(16) a₁₇ = -5, d = - $\frac{1}{2}$

a_n = - $\frac{1}{2}$ n + $\frac{7}{2}$

a₃₀ = - $\frac{23}{2}$

(17) a₅ = 58, a₁₂ = 30

a_n = 78 – 4n

a₃₀ = -42

أجد مجموع المتسلسلات الحسابية الآتية:

(18) 1 + 5 + 9 + … + 401

401 = 1 + 4(n – 1) $\Rightarrow$ n = 101

S₁₀₁ = $\frac{101}{2}$ (1 + 401) = 20301

(19) 0.7 + 2.7 + 4.7 + … + 56.7

56.7 = 0.7 + 2(n – 1) $\Rightarrow$ n = 29

S₂₉ = $\frac{29}{2}$ (0.7 + 56.7) = 832.3

(20) $\sum_{n = 1}^{80} (2 n - 2)$

a₁ = 0 , a₈₀ = 158

S₈₀ = $\frac{80}{2}$ (0 + 158) = 6320

21) رياضة: يمارس هيثم تمارين الضغط بانتظام، وقد استطاع أداء 25 ضغطة بصورة مستمرة في الأسبوع الأول، ثم تمكن من زيادة عددها أسبوعيًا بمقدار 5 ضغطات على نحو مستمر. ما عدد الضغطات التي يُمكنه أداؤها بشكل مستمر في الأسبوع السادس عشر؟

a₁ = 25 , d = 5

a₁₆ = 25 + 5(15) = 100

22) متسلسلة حسابية منتهية، حدها الأول 10، وأساسها 4، ومجموع حدودها 792، ما عدد حدود هذه المتسلسلة؟

792 = $\frac{n}{2}$ (2(10) + (n – 1) x 4) $\Rightarrow$ 2n² + 8n – 792 = 0

$\Rightarrow$ n² + 4n – 396 = 0

$\Rightarrow$ (n – 18)(n + 22) = 0

$\Rightarrow$ n = 18

23) إذا كان مجموع أول n حداً من حدود متسلسلة حسابية هو n² + 4n، فأجد حدها المئة.

S_n = n² + 4n

S₁ = 5 $\Rightarrow$ a₁ = 5

S₂ = 12 $\Rightarrow$ a₂ = 12 – 5 = 7

d = 7 – 5 = 2

a_n = 2n + 3

a₁₀₀ = 203

يبين الشكل المجاور نمطًا هندسياً يمثل عدد النقاط في نماذجه متتالية:

24) أبين أن عدد النقاط في النماذج يمثل متتالية حسابية.

1, 5, 9

ألاحظ أن الفرق بين كل حدين متتابعين، ثابت، وأنه يساوي 4؛ أي إن المتتالية حسابية أساسها 4

25) أجد الحد العام للمتتالية الحسابية.

a_n = 4n - 3

26) هل يوجد نموذج يحوي 397 نقطة؟ أبرر إجابتي.

397 = 4n – 3 $\Rightarrow$ n = 100

بما أن n عدد صحيح موجب، إذن يوجد نموذج يحوي 397 نقطة.

متسلسلة حسابية، حدها الأول a، وأساسها d، ومجموع حدودها الثلاثين الأولى يساوي ضعف مجموع حدودها العشرين الأولى:

27) أثبت أن $\frac{11 d}{2}$ = a

S₃₀ = 2S₂₀ $\Rightarrow$ $\frac{30}{2}$ (2 + 29d) = 2 x $\frac{20}{2}$ (2a + 19d)

$\Rightarrow$ 20a + 435d = 40a + 380d

$\Rightarrow$ 10a = 55d

$\Rightarrow$ a = $\frac{11}{2}$ d

28) إذا كان مجموع الحدود الثلاثين الأولى هو 400، فأجد قيمتي a و d.

400 = $\frac{30}{2}$ (2a + 29 x $\frac{2}{11}$ a) $\Rightarrow$ a = $\frac{11}{3}$ , d = $\frac{2}{3}$

29) أحل المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

a₁ = 1

a₂ = 1 + 6

a₃ = 1 + 6 + 12

a₄ = 1 + 6 + 12 + 18

…

S₁₀ = 1 + $\frac{9}{2}$ (6 + 54) = 271

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

06 / 09 / 2024

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025