أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

تكامل اقترانات خاصة

تكامل الاقترانات الأسيّة

أتحقق من فهمي صفحة 10

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) (5x23e7x) dx

(5x23e7x) dx=53x337e7x+C

(b) 0ln38e4x dx

0ln38e4x dx=84e4x|0ln3=2(e4ln3e0)=2(eln34e0)=2(811)=160

(c) e1x dx

e1x dx=(e1x)1/2 dx=e(1x)/2 dx=2e(1x)/2+C

(d) (3x+2x) dx

(3x+2x) dx=3xln3+2(23x32)+C=3xln3+43x32+C


تكامل الاقترانات المثلثية

أتحقق من فهمي صفحة 12

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) cos (3xπ) dx

cos (3xπ) dx=13sin (3xπ)+C

(b) (csc2 (5x)+e2x) dx

(csc2 (5x)+e2x) dx=15cot 5x+12e2x+C

(c) 0π/3(sin 2xcos 4x) dx

0π3(sin 2xcos 4x) dx=(12cos 2x14sin 4x)|0π3=(12cos 2π314sin 4π3)(12cos 014sin 0)=(12(12)14(32))(120)=6+38


المتطابقات المثلثية والتكامل

أتحقق من فهمي صفحة 14

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) cos4 x dx

cos4 x dxcos4 x=(cos2 x)2=(1+cos 2x2)2=14(1+2cos 2x+cos2 2x)=14(1+2cos 2x+1+cos 4x2)=14+12cos 2x+18+18cos 4x=38+12cos 2x+18cos 4xcos4 x dx=(38+12cos 2x+18cos 4x)dx=38x+14sin 2x+132sin 4x+C

(b) 0π/6sin 3xsin x dx

0π6sin3xsin x dx=0π612(cos (3xx)cos (3x+x)) dx=120π6(cos 2xcos 4x) dx=(14sin 2x18sin 4x)|0π6=(14sin 2π618sin 4π6)(00)=38316=316

(c) dx1+cos x

dx1+cos x=(11+cos x×1cos x1cos x)dx=1cos xsin2 x dx=(csc2 xcot xcsc x) dx=cot x+csc x+C


تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 16

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) (sin x5x) dx

(sin x5x) dx=cos x5ln |x|+C

(b) 53x+2 dx

53x+2 dx=5333x+2 dx=53ln |3x+2|+C

(c) x27x+2x2 dx

x27x+2x2 dx=(17x+2x2) dx=x7ln |x|2x1+C

(d) 2x+3x2+3x dx

2x+3x2+3x dx=ln |x2+3x|+C

(e) sin 2x1+cos 2x dx

sin 2x1+cos 2x dx=122sin 2x1+cos 2x dx=12ln |1+cos 2x|+C=12ln (1+cos 2x)+C

(f) cot x dx

cot x dx=cos xsin x dx=ln |sin x|+C

(g) exex+7 dx

exex+7 dx=ln |ex+7|+C=ln (ex+7)+C

(h) csc x dx

dx1+cos x=(11+cos x×1cos x1cos x)dx=1cos xsin2 x dx=(csc2 xcot xcsc x) dx=cot x+csc x+C

 

أتحقق من فهمي صفحة 17

أجد: x2+x+1x+1 dx

x2+x+1x+1 dx=(x+1x+1) dx=12x2+ln |x+1|+C


تكاملات الاقترانات المتشعبة

أتحقق من فهمي صفحة 19

(a) إذا كان: f(x)={1+x,x<12x,x1 ، فأجد قيمة: 13f(x)dx .

13f(x) dx=11(1+x) dx+132x dx=(x+12x2)|11+x2|13=(1+12)(1+12)+91=10

(b) إذا كان: f(x)=|1x| ، فأجد قيمة: 22f(x)dx .

f(x)={1x,x1x1,x>122f(x) dx=21(1x) dx+12(x1) dx=(x12x2)|21+(12x2x)|12=(112)(22)+(22)(121)=5

(c) إذا كان: f(x)=|x21| ، فأجد قيمة: 40f(x)dx .

f(x)={x21,x<11x2,1x1x21,x>140f(x) dx=41(x21) dx+10(1x2) dx=(13x3x)|41+(x13x3)|10=(13+1)(643+4)+(00)(1+13)=563


تطبيقات التكامل: الشرط الأولي

أتحقق من فهمي صفحة 20

تلوث: تسرب نفط من ناقلة بحرية، مكوناً بقعة دائرية الشكل على سطح الماء، نصف قطرها R(t) قدماً بعد t دقيقة من بدء التسرب. إذا كان نصف قطر الدائرة يزداد بمعدل: R(t)=210.07t+5 ، فأجد R(t) ، علماً بأن R(0) = 0 .

R(t)=210.07t+5 dt=210.070.070.07t+5 dt=300ln |0.07t+5|+CR(0)=300ln 5+C0=300ln 5+CC=300ln 5R(t)=300ln |0.07t+5|300ln 5=300ln |0.07t+55|=300ln |0.014t+1|


تطبيقات التكامل: الحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة 23

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t) = 3 cos t ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية:

(a) إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقع الجُسيم بعد π6 ثانية من بدء الحركة.

s(t)=v(t) dt=3cos t dt=3sin t+Cs(0)=3sin 0+C0=3sin 0+CC=0s(t)=3sin ts(π6)=3sin (π6)=1.5m

(b) أجد إزاحة الجسيم في الفترة [0, 2π] .

s(2π)s(0)=3sin (2π)3sin (0)=0 m

(c) أجد المسافة الكلية التي قطعها الجسيم في الفترة [0, 2π] .

|v(t)|=|3cos t|={3cos t,0t<π23cos t,π2t3π23cos t,3π2<t2π02π|v(t)| dx=0π23cos t dx+π23π23cos t dx+3π22π3cos t dx=3sin t|0π23sin t|ππ23π2+3sint |3π22π=(30)(33)+(0(3))=12m

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

18 / 02 / 2024

النقاشات