أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(1) (e2x3x) dx

(e2x3x) dx=(e2x3x1/2) dx=12e2x323x3/2+C

(2) (e0.5x3e0.5x) dx

(e0.5x3e0.5x) dx=(e0.5x3e0.5x) dx=2e0.5x+6e0.5x+C

(3) (4sin 5x5cos 4x) dx

(4sin 5x5cos 4x) dx=45cos 5x54sin 4x+C

(4) (3sec x tan x25x) dx

(3sec x tan x25x) dx=3sec x25ln |x|+C

(5) (ex1ex)2 dx

(ex1ex)2 dx=(ex2+1ex) dx=(ex2+ex) dx=ex2xex+C

(6) (sin (53x)+2+4x2) dx

(sin (53x)+2+4x2) dx=13cos (53x)+2x+43x3+C

(7) (ex+1)2 dx

(ex+1)2 dx=(e2x+2ex+1) dx=12e2x+2ex+x+C

(8) (e4x+sin (4x)+cos (4x)) dx

(e4x+sin (4x)+cos (4x))dx=e4x+cos (4x)sin (4x)+C

(9) x462x dx

x262x dx=(12x3x) dx=14x23ln |x|+C

(10) (3csc2 (3x+2)+5x) dx 

(3csc2 (3x+2)+5x) dx=cot (3x+2)+5ln |x|+C

(11) ex+1ex dx

ex+1ex dx=(1+ex) dx=xex+C

(12) exex+4 dx

exex+4 dx=ln |ex+4|+C=ln (ex+4)+C

(13) cos 2xsin xcos x+4 dx

cos 2xsin xcos x+4 dx=cos 2x12sin 2x+4 dx=ln |12sin 2x+4|+C=ln (12sin 2x+4)+C

(14) dx5x3

dx5x3=3135x3 dx=3ln |5x3|+C

(15) 11sin x dx

11sin x dx=11sin x×1+sin x1+sin x dx=1+sin x1sin2 x dx=1+sin xcos2 x dx=(sec2 x+tan xsec x) dx=tan x+sec x+C

(16) sec2 x(1+excos2 x) dx

sec2 x(1+excos2 x) dx=(sec2 x+ex) dx=tan x+ex+C

(17) (2x2x) dx

(2x2x) dx=2ln |x|2xln 2+C

(18) sin 3x cos 2x dx

sin 3xcos 2x dx=12(sin 5x+sin x) dx=110cos 5x12cos x+C

 2x+33x2+9x1dx (19)

2x+33x2+9x1dx=136x+93x2+9x1dx=13ln|3x2+9x1|+C

x2+x+1x2+1dx (20)

x2+x+1x2+1dx=(x2+1x2+1+xx2+1)dx=(1+12×2xx2+1)dx=x+12ln(x2+1)+C

(1+cosxsin2x+(sin2xcscx))dx (21)

(1+cosxsin2x+sin2xcscx)dx=(csc2x+cotxcscx+sinx)dx=cotxcscxcosx+C

(secx+tanx)2dx (22)

(secx+tanx)2dx=(sec2x+2secxtanx+tan2x)dx=(sec2x+2secxtanx+sec2x1)dx=(2sec2x+2secxtanx1)dx=2tanx+2secxx+C

exexex+exdx (23)

exexex+exdx=ln(ex+ex)+C

x2x33dx (24)

x2x33dx=133x2x33dx=13ln|x33|+C

(9cos2xsin2x6sinxcosx)dx (25)

(9cos2xsin2x6sinxcosx)dx=(9cos2x(1cos2x)6sinxcosx)dx=(10cos2x16sinxcosx)dx=(10(1+cos2x2)13sin2x)dx=(5+5cos2x13sin2x)dx=(4+5cos2x3sin2x)dx=4x+52sin2x+32cos2x+C

(cos4xsin4x)dx (26)

(cos4xsin4x)dx=(cos2xsin2x)(cos2x+sin2x)dx=(cos2xsin2x)dx=cos2xdx=12sin2x+C

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

0π2cos12xdx0π2cos12xdx (27)

0π2cos12xdx=4sin12x|0π=4(sinπ2sin0)=4

02π|sinx|dx (28)

|sinx|={sinx,0xπsinx,π<x2π02π|sinx|dx=0πsinxdx+π2πsinxdx=cosx|0π+cosx|π2π=(cosπcos0)+cos2πcosπ=(2)+1(1)=4

π/6π/33tan2xdx (29)

π6π33tan2xdx=π6π33(sec2x1)dx=3(tanxx)|π6π3=3(tanπ3π3)3(tanπ6π6)=23π2

1e8xx2+1dx (30)

1e8xx2+1dx=41e2xx2+1dx=4ln|x2+1||1e=4ln(e2+1)4ln2=4ln(e2+12)

0π/6sin3xcosxdx(31)

0π6sin3xcosxdx=120π6(sin4x+sin2x)dx=(18cos4x14cos2x)|0π6=18cos4π614cos2π6(18cos014cos0)=516

π/4π/3cot2x1+cot2xdx (32)

π4π3cot2x1+cot2xdx=π4π3cot2xcsc2xdx=π4π3cos2xsin2csc2xdx=π4π3cos2xsin2x(1sin2x)dx=π4π3cos2xdx=12π4π3(1+cos2x)dx=12(x+12sin2x)|π4π3=π6+14sin2π3(π8+14sin2π4)

03(x5x)dx (33)

03(x5x)dx=(12x25xln5)|03=92125ln5(01ln5)=92124ln5

04|x24x+3|dx (34)

|x24x+3|={x24x+3,x<1x2+4x3,1x3x24x+3,x>304|x24x+3|dx=01(x24x+3)dx+13(x2+4x3)dx+34(x24x+3)dx=(13x32x2+3x)|01+(13x3+2x23x)|13+(13x32x2+3x)|34=132+30+(9+189)(13+23)+64332+12

14(3|x3|)dx (35)

|x3|={3x,x3x3,x>314(3|x3|)dx=13(3(3x))dx+34(3(x3))dx=13xdx+34(6x)dx=12x2|13+(6x12x2)|34=9212+248(1892)=132

(36) إذا كان f(x)={x2+4,x<04x,x0، فأجد قيمة: 11f(x)dx.

11f(x)dx=10(x2+4)dx+01(4x)dx=(13x3+4x)|10+(4x12x2)|01=0(134)+4120=476

الشكل(37) أجد مساحة المنطقة المظللة بين المحور x ومنحنى الاقتران: f(x)=e0.5x2 الممثل في الشكل المجاور.

A=24(e0.5x2)dx=(2e0.5x2x)|24=2e28(2e4)=2e22e4

(38) إذا كان: a3a2x+1xdx=ln12، فأجد قيمة الثابت a، حيث: a>0.

a3a2x+1xdx=a3a2+1xdx=(2x+ln|x|)|a3a=6a+ln3a2alna=4a+ln34a+ln3=ln124a=ln12ln34a=ln123a=14ln4

(39) أثبت أن: 0axx2+a2dx=ln2، حيث: a0.

0axx2+a2dx=120a2xx2+a2dx=12ln(x2+a2)|0a=12(ln(2a2)ln(a2))=12ln2=ln2

الشكل(40) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران: f(x)=4x. إذا كانت مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران f(x)، والمحور x، والمستقيمين: x=a،x=1، هي 10 وحدات مربعة، فأجد قيمة الثابت a.

A=1a4xdx=4ln|x||1a=4lna4ln1=4lna4lna=10lna=53a=e52

(41) إذا كان: f(x)=cos(12x+π)dx، وكان: f(π)=3، فأجد f(0).

f(x)=cos(12x+π)dx=2sin(12x+π)+Cf(π)=2sin(12π+π)+C3=2sin3π2+C3=2+CC=5f(x)=2sin(12x+π)+5f(0)=2sinπ+5=5

(42) إذا كان: y=sin(π22x)dx، وكان: 1=y عندما x=π4، فأثبت أنه يمكن كتابة y في صورة: y=1+sin2x2.

y=sin(π22x)dx=cos(π22x)2+C=12cos(π22x)+Cy|x=π4=12cos(π2π2)+C1=12+CC=12y=12cos(π22x)+12y=12sin2x+12y=1+sin2x2

(43) يمثل الاقتران: dydx=e2x2ex ميل المماس لمنحنى الاقتران y. أجد قاعدة الاقتران y إذا علمت أن منحناه يمر بالنقطة (0,1).

y=(e2x2ex)dx=12e2x+2ex+Cy|x=0=12+2+C1=52+CC=32y=12e2x+2ex32

(44) إذا كان: π/9π(9+sin3x)dx=aπ+b، فأجد قيمة الثابتين النسبيين: a وb.

π9π(9+sin3x)dx=(9x13cos3x)|π9π=9π13cos3ππ+13cosπ3=8π+13+16=8π+128π+12=aπ+b

ونظراً لأن a وb نسبيان، فلا يوجد حل لهذه المعادلة سوى أن يكون: a=8,b=12

(45) يمثل الاقتران: f(x)=cos2x ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x). أجد قاعدة الاقتران f إذا علمت أن يمر بنقطة الأصل.

f(x)=cos2xdx=12(1+cos2x)dx=12(x+12sin2x)+Cf(0)=12(0+12sin0)+C0=0+CC=0f(x)=12x+14sin2x

يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t)=e2t، حيث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 3m، فأجد كلاً مما يأتي:

(46) موقع الجسيم بعد t ثانية.

s(t)=e2tdt=12e2t+Cs(0)=12+C=3C=723=12+CC=72s(t)=12e2t+72

(47) موقع الجسيم بعد 100 ثانية.

s(100)=12e200+723.5m

سنجاببيئة: في دراسة تناولت أحد أنواع الحيوانات المهددة بالانقراض في غابة، تبين أن عدد حيوانات هذا النوع (t)P يتغير بمعدل: P(t)=0.51e0.03t، حيث t الزمن بالسنوات بعد بدء الدراسة:

(48) أجد قاعدة الاقتران (t)P عند أي زمن t، علما بأن عدد حيوانات هذا النوع عند بدء الدراسة هو 500 حيوان.

P(t)=0.51e0.03tdt=0.510.03e0.03t+C=17e0.03t+CP(0)=17+C500=17+CC=483P(t)=17e0.03t+483

(49) أجد عدد الحيوانات بعد 10 سنوات من بدء الدراسة، مقرباً إجابتي إلى أقرب عدد صحيح.

P(10)=17e0.3+483496

ورمطب: في تجربة لدواء جديد أعطي لمريض لديه ورم حميد، حجمه 30cm3، تبين أن حجم الورم بعد t يوماً من بدء التجربة يتغير بمعدل: P(t)=0.150.9e0.006t مقيساً بوحدة (cm3/day):

(50) أجد قاعدة حجم الورم بعد t يوماً من بدء التجرية.

P(t)=(0.150.9e0.006t)dt=0.15t0.90.006e0.006t+C=0.15t150e0.006t+CP(0)=150+C30=150+CC=180P(t)=0.15t150e0.006t+180

(51) أجد حجم الورم بعد 10 أيام من بدء التجربة.

P(10)=1.5150e0.06+18022.2cm3

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

14 / 02 / 2023

النقاشات