مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

التكامل بالأجزاء

(37) تبرير: أثبت أن: 1/23x2ln2xdx=9ln621572.

u=ln2xdv=x2dxdu=1xdxv=13x3123x2ln2xdx=13x3ln2x|12312313x2dx=13x3ln2x|12319x3|123=9ln63+172=9ln621572

(38) تبرير: أثبت أن: 0π/4xsin5xsin3xdx=π216.

u=xdv=sin5xsin3xdx=12(cos2xcos8x)dxdu=dxv=14sin2x116sin8x0π4xsin5xsin3xdx=x(14sin2x116sin8x)|0π40π4(14sin2x116sin8x)dx=x(14sin2x116sin8x)|0π4(18cos2x+1128cos8x)|0π4=π4(14)+0112818+1128=π216

(39) تبرير: إذا كان: 0axex/2dx=6، فأثبت أن a يحقق المعادلة: x=2+ex/2.

u=xdv=e12¯xdxdu=dxv=2e12x0axe122xdx=2xe122|0a0a2e12xdx=2xe12x|0a4e12x|0a=2ae1za4e12a+42ae12a4e12a+4=62αe12¯a=4e12¯a+2

بقسمة طرفي المعادلة على 2e12a نحصل على:

a=2+e12a

لذا فإن a يحقق المعادلة x=2+ex2

(40) تبرير: أجد: (lnx)2dx بطريقتين مختلفتين، مبرراً إجابتي.

الطريقة الأولى بالتعويض:

u=lnxdudx=1xdx=xdu,x=eu(lnx)2dx=u2xdu=u2eudu

بالأجزاء مرتين، نستخدم الجدول:

حل السؤال 40

u2eudu=eu(u22u+2)+C(lnx)2dx=elnx((lnx)22lnx+2)+C=x((lnx)22lnx+2)+C

الطريقة الثانية: بالأجزاء مباشرة: 

u=(lnx)2dv=dxdu=2lnxxdxv=x(lnx)2dx=x(lnx)22lnxdxu=2lnxdv=dxdu=2xdxv=x(lnx)2dx=x(lnx)22xlnx+2dx=x(lnx)22xlnx+2x+C

منحنى الاقترانتبرير: إذا كان الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران: y=xe2x حيث: 12x12، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(41) أجد مساحة كل من المنطقة R1، والمنطقة R2.

A1=120xe2xdx,A2=012xe2xdx

نجد التكامل غير المحدود xe2xdx بالأجزاء:

u=xdv=e2xdxdu=dxv=12e2xxe2xdx=12xe2x12e2xdx=12xe2x14e2x+C=14e2x(2x1)+CA(R1)=14e2x(2x1)|120=1412e=e24eA(R2)=14e2x(2x1)|012=0+14=14

(42) أثبت أن مساحة المنطقة R1 إلى مساحة المنطقة R2 تساوي (e2):e.

A(R1)A(R2)=e24e14=e2eA(R1):A(R12)=(e2):e

تحد: استعمل التكامل بالأجزاء لإثبات كل مما يأتي، حيث: n عدد صحيح موجب، وa0:

xnlnxdx=xn+1(n+1)2(1+(n+1)lnx)+C (43)

u=lnxdv=xndxdu=1xdxv=1n+1xn+1xnlnxdx=xn+1lnxn+11n+1xndx=xn+1lnxn+11(n+1)2xn+1+C=xn+1(n+1)2(1+(n+1)lnx)+C

xneaxdx=xneaxanaxn1eaxdx (44)

u=xndv=eaxdxdu=nxn1dxv=1aeaxxneaxdx=1axneaxnaxn1eaxdx

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

12 / 02 / 2023

النقاشات