قاعدة السلسلة الرياضيات التوجيهي العلمي

أتدرب وأحل المسائل - 1

أتدرب وأحل المسائل

قاعدة السلسلة الأسئلة (1 - 24)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) f(x) = e^{4x + 2}

f '(x) = 4e^{4x + 2}

(2) f(x) = 50e^{2x - 10}

f '(x) = 100e^{2x - 10}

(3) f(x) = cos (x² – 3x – 4)

f '(x) = - (2x – 3) sin (x² – 3x – 4)

f '(x) = (3 – 2x) sin (x² – 3x – 4)

(4) f(x) = 10x² $e^{- x^{2}}$

f '(x) = (10x²) (-2x $e^{- x^{2}}$ ) + ( $e^{- x^{2}}$ ) (20x) = 20x $e^{- x^{2}}$ (1 – x²)

(5) f(x) = $\sqrt{\frac{x + 1}{x}}$

f (x) = $\sqrt{\frac{x + 1}{x}}$ = $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$

f '(x) = $\frac{- \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt[2]{1 + \frac{1}{x}}}$ = - $\frac{- 1}{{2 x}^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}$

(6) f(x) = x² tan $\frac{1}{x}$

f '(x) = (x²) (- $\frac{1}{x^{2}}$ sec² $\frac{1}{x}$ ) + (tan $\frac{1}{x}$ ) (2x)

f '(x) = -sec² $\frac{1}{x}$ + 2x tan $\frac{1}{x}$

(7) f(x) = 3x – 5 cos (πx)²

f '(x) = 3 + 5(2) (πx) (π) sin (πx)² = 3 + 10π²x sin (πx)²

(8) f(x) = ln ( $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ )

f (x) = ln ( $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ ) = ln (1 + e^x) – ln (1 – e^x)

f '(x) = $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ + $\frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$ = $\frac{2 e^{x}}{1 - {e^{2}}^{x}}$

(9) f(x) = (ln x)⁴

f '(x) = $\frac{4}{x}$ (ln x)³

(10) f(x) = sin $\sqrt[3]{x}$ + $\sqrt[3]{\sin x}$

f '(x) = $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ cos $\sqrt[3]{x}$ + $\frac{\cos x}{3 \sqrt[3]{\sin^{2} x}}$

(11) f(x) = $\sqrt[5]{x^{2} + 8 x}$

f '(x) = $\frac{2 x + 8}{5 \sqrt[5]{{(x^{2} + 8 x)}^{4}}}$

(12) f(x) = $\frac{3^{2 x}}{x}$

f '(x) = $\frac{(x) (2 \ln 3) 3^{2 x} - 3^{2 x}}{x^{2}}$ = $\frac{(- 1 + 2 x \ln 3) 3^{2 x}}{x^{2}}$

(13) f(x) = 2^-x cos πx

f '(x) = (2^-x) (-π sin πx) + (cos πx) (-ln 2)2^-x

= - π 2^-x sin πx – 2^-x (cos πx) ln 2

(14) f(x) = $\frac{10 \log_{4} x}{x}$

f '(x) = $\frac{\frac{10 x}{x \ln 4} - 10 \log_{4} x}{x^{2}}$ = $\frac{\frac{10}{\ln 4} - 10 \log_{4} x}{x^{2}}$

(15) f(x) = ( $\frac{\sin x}{1 + \cos x}$ )²

f '(x) = 2 ( $\frac{\sin x}{1 + \cos x}$ )¹ x $\frac{(1 + \cos x) (\cos x) - (\sin x) (- \sin x)}{{(1 + \cos x)}^{2}}$

= 2 x $\frac{\sin x}{1 + \cos x}$ x $\frac{1}{1 + \cos x}$

= $\frac{2 \sin x}{{(1 + \cos x)}^{2}}$

(16) f(x) = log₃ (1 + x ln x)

f '(x) = $\frac{(x) (\frac{1}{x}) + (\ln x) (1)}{(\ln 3) (1 + x \ln x)}$ = $\frac{1 + \ln x}{(\ln 3) (1 + x \ln x)}$

(17) f(x) = e^{sin 2x} + sin (e^2x)

f '(x) = 2e^{sin 2x} cos 2x + 2e^2x cos (e^2x)

(18) f(x) = tan⁴ (sec (cos x))

f '(x) = 4(tan (sec(cos x)))³ sec² (sec(cos x)) x sec(cos x) tan(cos x) x (-sin x)

= -4 tan³ (sec(cos x)) sec² (sec(cos x)) sec(cos x) tan(cos x) sin x

أجد معادلة المماس لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(19) $f (x) = 4 e^{- 0.5 x^{2}}, x = - 2$

$\begin{aligned} f (x) = 4 e^{- 0 .5 x^{2}} \\ f (- 2) = 4 e^{- 0 .5 (- 2)^{2}} = \frac{4}{e^{2}} \\ f^{'} (x) = - 4 x e^{- 0 .5 x^{2}} \end{aligned}$

ميل المماس هو:

$m = f^{'} (- 2) = - 4 (- 2) e^{- 0 .5 (- 2)^{2}} = \frac{8}{e^{2}}$

معادلة المماس هي:

$y - \frac{4}{e^{2}} = \frac{8}{e^{2}} (x + 2) \to y = \frac{8}{e^{2}} x + \frac{20}{e^{2}}$

(20) $f (x) = x + \cos 2 x, x = 0$

$\begin{aligned} f (x) = x + c o s 2 x \\ f (0) = 0 + c o s (0) = 1 \\ f^{'} (x) = 1 - 2 s i n 2 x \end{aligned}$

ميل المماس هو:

$m = f^{'} (0) = 1 - 2 s i n 2 (0) = 1$

معادلة المماس هي:

$y - 1 = 1 (x - 0) \to y = x + 1$

(21) $f (x) = 2^{x}, x = 0$

$\begin{aligned} f (x) = 2^{x} \\ f (0) = 2^{0} = 1 \\ f^{'} (x) = (l n 2) 2^{x} \end{aligned}$

ميل المماس هو:

$m = f^{'} (0) = (l n 2) 2^{0} = l n 2$

معادلة المماس هي:

$y - 1 = (l n 2) (x - 0) \to y = (l n 2) x + 1$

(22) $f (x) = \sqrt{x + 1} \sin \frac{π x}{2}, x = 3$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x + 1} s i n \frac{π x}{2} \\ f (3) = 2 s i n \frac{3 π}{2} = - 2 \\ f^{'} (x) = (\sqrt{x + 1}) (\frac{π}{2} c o s \frac{π x}{2}) + (s i n \frac{π x}{2}) (\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}) \end{aligned}$

ميل المماس هو:

$m = f^{'} (3) = (2) (0) + (- 1) (\frac{1}{4}) = - \frac{1}{4}$

معادلة المماس هي:

$y + 2 = - \frac{1}{4} (x - 3) \to y = - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4}$

(23) إذا كان: $A (x) = f (g (x))$ ، وكان: $f (- 2) = 8, f^{'} (- 2) = 4, f^{'} (5) = 3, g (5) = - 2, g^{'} (5) = 6$ فأجد $A^{'} (5)$ .

$\begin{aligned} A^{'} (x) & = f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x) \\ A^{'} (5) & = f^{'} (g (5)) \times g^{'} (5) \\ = f^{'} (- 2) \times 6 \\ = 4 \times 6 = 24 \end{aligned}$

(24) إذا كان: $f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ، فأثبت أنّ $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}}$ .

$\begin{aligned} f (x) & = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \\ f^{'} (x) & = \frac{(\sqrt{x^{2} + 1}) (1) - (x) (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}})}{x^{2} + 1} \\ = \frac{(\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}})}{x^{2} + 1} \\ = \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}} \\ = \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

19 / 01 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

khadejah

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

khadejah

جميع الحقوق محفوظة © 2025