قاعدة السلسلة الرياضيات التوجيهي العلمي

مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

قاعدة السلسلة

تبرير: إذا كان الاقتران: y = ln (ax + b) ، حيث a و b ثابتان موجبان، وكان ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة P هو 1 ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(42) أثبت أن الإحداثي x للنقطة P أقل من 1

$\begin{aligned} y = l n (a x + b) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{a}{a x + b} \end{aligned}$

ليكن إحداثيا P هما (x₁, y₁)، فيكون ميل المماس عند P هو:

$\begin{aligned} {\frac{d y}{d x} |}_{x = x_{1}} = \frac{a}{a x_{1} + b} \to \frac{a}{a x_{1} + b} = 1 \\ \to a = a x_{1} + b \\ \to x_{1} = \frac{a - b}{a} = 1 - \frac{b}{a} \end{aligned}$

المقدار $\frac{b}{a}$ - 1 أقل من 1 ؛ لأن $\frac{b}{a}$ مقدار موجب كون a , b موجبين.

(43) أجد إحداثيي النقطة التي يكون عندها ميل المماس $\frac{1}{2}$ ، علماً بأن P هي النقطة (0, 2)، ثم أبرر إجابتي.

$\begin{aligned} P (x_{1}, y_{1}) = (0, 2) \\ x_{1} = 1 - \frac{b}{a} = 0 \to b = a \\ y_{1} = l n (a x_{1} + b) \to 2 = l n (b) \to b = e^{2} \to a = e^{2} \end{aligned}$

بتعويض قيمتي a , b في قاعدة الاقتران ينتج أن:

$\begin{aligned} y & = l n (e^{2} x + e^{2}) \\ = l n e^{2} (x + 1) \\ = l n e^{2} + l n (x + 1) \\ = 2 + l n (x + 1) \end{aligned}$

ميل المماس هو: $\frac{1}{x + 1}$ = $\frac{d y}{d x}$ وهذا يساوي $\frac{1}{2}$

إذن: $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{x + 1}$

أي أن: x + 1 = 2

إذن: x = 1 و y = 2 + ln 2

النقطة التي يكون ميل المماس عندها $\frac{1}{2}$ هي (1, 2 + ln 2).

تبرير: يعطى منحنى بالمعادلة الوسيطية: x = t² , y = 2t :

(44) أجد $\frac{d y}{d x}$ بدلالة t .

$\begin{aligned} \frac{d y}{d t} = 2, \frac{d x}{d t} = 2 t \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{2}{2 t} = \frac{1}{t} \end{aligned}$

(45) أجد معادلة العمودي على المماس المنحنى عند النقطة (t² , 2t).

ميل المماس:

$m = \frac{d y}{d x} = \frac{1}{t}$

ميل العمودي على المماس:

$m = \frac{- 1}{\frac{1}{t}} = - t$

معادلة العمودي على المماس:

$y - 2 t = - t (x - t^{2}) \to y = - t x + t^{3} + 2 t$

(46) أثبت أن مساحة المثلث المكون من العمودي على المماس، والمحورين الإحداثيين، هي $\frac{1}{2} | t | {(2 + t^{2})}^{2}$ .

لإيجاد المقطع x للعمودي على المماس نضع y = 0

$0 = - t x + t^{3} + 2 t \to x = \frac{t^{3} + 2 t}{t} = t^{2} + 2$

لإيجاد المقطع y للعمودي على المماس نضع x = 0

$y = - t (0) + t^{3} + 2 t = t^{3} + 2 t$

مساحة المثلث:

$\begin{aligned} A & = \frac{1}{2} | t^{2} + 2 | | t^{3} + 2 t | \\ = \frac{1}{2} | t^{2} + 2 | | t (t^{2} + 2) | \\ = \frac{1}{2} | t {(t^{2} + 2)}^{2} | \\ = \frac{1}{2} | t | {(t^{2} + 2)}^{2} \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

19 / 01 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025