الرياضيات للتوجيه يالعلمي، الاشتقاق الضمني

أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

الاشتقاق الضمني

العلاقة الضمنية ومشتقتها

أتحقق من فهمي صفحة 60

أجد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي:

(a) x² + y² = 13

x² + y² = 13

2x + 2y $\frac{d y}{d x}$ = 0

$\frac{d y}{d x}$ = - $\frac{2 x}{2 y}$ = - $\frac{x}{y}$

(b) 2x + 5y² = sin y

2x + 5y² = sin y

2 + 10y $\frac{d y}{d x}$ = cos y $\frac{d y}{d x}$

$\frac{d y}{d x}$ (10y – cos y) = -2

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{- 2}{10 y - \cos y}$

أتحقق من فهمي صفحة 62

أجد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي:

(a) 3xy² + y³ = 8

3xy² + y³ = 8

6xy $\frac{d y}{d x}$ + 3y² + 3y² $\frac{d y}{d x}$ = 0

$\frac{d y}{d x}$ = - $\frac{3 y^{2}}{6 x y + 3 y^{2}}$

(b) tan (x – y) = 2xy³ + 1

tan (x – y) = 2xy³ + 1

(1 - $\frac{d y}{d x}$ ) sec² (x – y) = 6xy² $\frac{d y}{d x}$ + 2y³

sec² (x – y) – sec² (x – y) $\frac{d y}{d x}$ = 6xy² $\frac{d y}{d x}$ + 2y³

$\frac{d y}{d x}$ (6xy² + sec² (x – y)) = sec² (x – y) – 2y³

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{\sec^{2} (x - y) - 2 y^{3}}{6 x y^{2} + \sec^{2} (x - y)}$

(c) x² = $\frac{x - y}{x + y}$

x²= $\frac{x - y}{x + y}$

2x = $\frac{(x + y) (1 - \frac{d y}{d x}) - (x - y) (1 + \frac{d y}{d x})}{{(x + y)}^{2}}$

2x (x + y)² = x – x $\frac{d y}{d x}$ + y – y $\frac{d y}{d x}$ - x – x $\frac{d y}{d x}$ + y + y $\frac{d y}{d x}$

2x $\frac{d y}{d x}$ = 2y – 2x (x + y)²

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{2 y - 2 x {(x + y)}^{2}}{2 x}$ = $\frac{y - x {(x + y)}^{2}}{x}$

أو يمكن تبسيط العلاقة قبل الاشتقاق كالآتي:

x² = $\frac{x - y}{x + y}$ → x³ + x²y = x – y

→ 3x² + x² $\frac{d y}{d x}$ + 2xy = 1 - $\frac{d y}{d x}$

→ $\frac{d y}{d x}$ + x² $\frac{d y}{d x}$ = 1 – 3x² – 2xy

→ $\frac{d y}{d x}$ (1 + x²) = 1 – 3x² – 2xy

→ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{1 - 3 x^{2} - 2 x y}{1 + x^{2}}$

ميل المماس لمنحنى علاقة ضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 63

(a) أجد ميل مماس منحنى العلاقة: y² = ln x عند النقطة (e, 1).

y² = ln x → 2y $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{1}{x}$

→ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{1}{2 x y}$

${\frac{d y}{d x}}_{(e, 1)}$ = $\frac{1}{2 e}$

(b) أجد ميل العلاقة:(y – 3)² = 4(x – 5) عندما x = 6 .

نجد قيمة y عندما x = 6 .

(y – 3)² = 4(6 – 5) → (y – 3)² = 4

→ y – 3 = $\pm$ 2

→ y = 5 or y = 1

باشتقاق طرفي العلاقة (y – 3)² = 4(x – 5) بالنسبة إلى x ينتج أنّ:

2 (y – 3) $\frac{d y}{d x}$ = 4

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{2}{y - 3}$

ميل المماس عند النقطة الأولى هو:

${\frac{d y}{d x}}_{(6, 1)}$ = $\frac{2}{1 - 3}$ = -1

ميل المماس عند النقطة الثانية هو:

${\frac{d y}{d x}}_{(6, 5)}$ = $\frac{2}{5 - 3}$ = 1

معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 65

أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: x² + y³ – 3xy = 17 عند النقطة (2, 3).

x³ + y³ – 3xy = 17 → 3x² + 3y² $\frac{d y}{d x}$ - 3x $\frac{d y}{d x}$ - 3y = 0

بتعويض x = 2 ، و y = 3 ينتج أّن:

3(2)² + 3(3)² $\frac{d y}{d x}$ - 3(2) $\frac{d y}{d x}$ - 3(3) = 0

${\frac{d y}{d x}}_{(2, 3)}$ = - $\frac{1}{7}$

ميل المماس هو: $\frac{1}{7}$ -

إذن معادلة المماس هي:

y – 3 = - $\frac{1}{7}$ (x – 2)

y = - $\frac{1}{7}$ x + $\frac{23}{7}$

المشتقة الثانية للعلاقات الضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 66

إذا كان: xy + y² = 2x ، فأجد $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ .

xy + y² = 2x → x $\frac{d y}{d x}$ + y + 2y $\frac{d y}{d x}$ = 2

→ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{2 - y}{x + 2 y}$

→ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = $\frac{(x + 2 y) (- \frac{d y}{d x}) - (2 - y) (1 + 2 \frac{d y}{d x})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

= $\frac{(x + 2 y) (\frac{y - 2}{x + 2 y}) - (2 - y) (1 + 2 \frac{2 - y}{x + 2 y})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

= $\frac{(x + 2 y) (y - 2) - (2 - y) (x + 4)}{{(x + 2 y)}^{3}}$

= $\frac{2 x y - 4 x + 2 y^{2} - 8}{{(x + 2 y)}^{3}}$

المشتقة الثانية للمعادلات الوسيطية

أتحقق من فهمي صفحة 67

أجد $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للمعادلة الوسيطية الآتية عندما t = 2 :

x = 3t² + 1 , y = t³ – 2t²

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$ = $\frac{3 t^{2} - 4 t}{6 t}$ = $\frac{1}{2}$ t - $\frac{2}{3}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ = $\frac{\frac{d}{d t} (\frac{d y}{d t})}{\frac{d x}{d t}}$ = $\frac{\frac{1}{2}}{6 t}$ = $\frac{1}{12 t}$

${\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}_{t = 2}$ = $\frac{1}{24}$

الاشتقاق اللوغارتيمي

أتحقق من فهمي صفحة 69

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي باستعمال الاشتقاق اللوغاريتمي:

(a) y = $x^{\sqrt{x}}$ , x > 0

y = $x^{\sqrt{x}}$ → ln y = ln $x^{\sqrt{x}}$

→ ln y = $\sqrt{x}$ ln x

→ $\frac{1}{y}$ ( $\frac{d y}{d x}$ ) = $\sqrt{x}$ ( $\frac{1}{x}$ ) + $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ln x

→ $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{y}{\sqrt{x}}$ + $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ ln x → $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{x^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ + $\frac{x^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$ ln x

(b) y = $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$

y = $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$ → ln y = ln $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$

→ ln y = $\frac{1}{2}$ ln $\frac{x - 1}{x^{4} + 1}$

→ ln y = $\frac{1}{2}$ (ln (x – 1) – ln (x⁴ + 1))

→ $\frac{1}{y}$ ( $\frac{d y}{d x}$ ) = $\frac{1}{2 (x - 1)}$ + $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

→ $\frac{d y}{d x}$ = ( $\frac{1}{2 (x - 1)}$ + $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ ) $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

19 / 01 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025