الشرط الأولي، وحدة التكامل التوجيهي الأدبي

أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

الشرط الأولي

الشرط الأولي، وإيجاد قاعدة الاقتران

أتحقق من فهمي صفحة (16):

أجد قاعدة الاقتران f(x) إذا كان: $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 5$ ، ومرّ منحناه بالنقطة (1, 9).

$\begin{aligned} f (x) = \int (6 x^{2} + 5) d x \\ f (x) = 2 x^{3} + 5 x + C \\ 9 = 2 (1)^{3} + 5 (1) + C \\ C = 2 \\ f (x) = 2 x^{3} + 5 x + 2 \end{aligned}$

أتحقق من فهمي صفحة (17):

التكلفة الحدّية: يمثل الاقتران $C^{'} (x) = 0 .3 x^{2} + 2 x$ التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تُنتج في إحدى الشركات حيث x عدد القطع المنتجة، و C(x) تكلفة إنتاج x قطعة بالدينار. أجد اقتران التكلفة C(x) ، علماً بأن تكلفة إنتاج 10 قطع هي JD 2200 .

$\begin{aligned} C (x) = \int (0 .3 x^{2} + 2 x) d x \\ C (x) = 0.1 x^{3} + x^{2} + K \\ 2200 = 0 .1 (10)^{3} + (10)^{2} + K \\ 2200 = 100 + 100 + K \\ K = 2000 \\ C (x) = 0 .1 x^{3} + x^{2} + 2000 \end{aligned}$

الشرط الأولي: الحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (18):

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t) = 36t – 3t² ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

$\begin{aligned} s (t) = \int v (t) d t = \int (36 t - 3 t^{2}) d t = 18 t^{2} - t^{3} + C \\ 0 = 18 (0)^{2} - (0)^{3} + C \\ C = 0 \\ s (t) = 18 t^{2} - t^{3} \\ s (3) = 18 (3)^{2} - (3)^{3} \\ = 135 \end{aligned}$

إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة: 135 m

أتحقق من فهمي صفحة (20):

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: a(t) = 4t – 4 ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 5 m/s ، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

$\begin{aligned} v (t) & = \int a (t) d t \\ = \int (4 t - 4) d t \\ = 2 t^{2} - 4 t + C_{1} \end{aligned}$

بما أن الجسيم بدأ حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 5 m/s ، فإن v(0) = 5 وهذا يعد شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₁ .

$\begin{aligned} 5 = 2 (0)^{2} - 4 (0) + C_{1} \\ C_{1} = 5 \\ v (t) = 2 t^{2} - 4 t + 5 \\ s (t) = \int v (t) d t \\ = \int (2 t^{2} - 4 t + 5) d t \\ = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 5 t + C_{2} \end{aligned}$

بما أن الجسيم بدأ حركته من نقطة الأصل، فإن S(0) = 0 ، وهذا يعد شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₂ .

$\begin{aligned} s (t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 5 t + C_{2} \\ 0 = \frac{2}{3} (0)^{3} - 2 (0)^{2} + 5 (0) + C_{2} \\ C_{2} = 0 \\ s (t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 5 t \\ s (3) = \frac{2}{3} (3)^{3} - 2 (3)^{2} + 5 (3) \\ = 15 \end{aligned}$

إذن موقع الجسيم بعد 4 ثوانٍ من بدء الحركة: 15 m

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

26 / 01 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025