إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

الشرط الأولي

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $f (x)$ ، ونقطة يمر بها منحنى $y = f (x)$ أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد معادلة الاقتران $f (x)$ :

$f^{'} (x) = 3 x - 2; (- 1, 2)$ (1)

$\begin{aligned} f (x) = \int (3 x - 2) d x = \frac{3}{2} x^{2} - 2 x + C \\ \Rightarrow f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 2 x + C \\ f (- 1) = 2 \Rightarrow \frac{3}{2} + 2 + C = 2 \Rightarrow C = - \frac{3}{2} \\ \Rightarrow f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 2 x - \frac{3}{2} \end{aligned}$

$f^{'} (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}; (4, 5)$ (2)

$\begin{aligned} f (x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x = \int (\frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}) d x = \int (x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}) d x \\ = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 2 \sqrt{x} + C \\ \Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 2 \sqrt{x} + C \\ f (4) = 5 \Rightarrow \frac{16}{3} + 4 + C = 5 \Rightarrow C = - \frac{13}{3} \\ \Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 2 \sqrt{x} - \frac{13}{3} \end{aligned}$

$f^{'} (x) = - x (x + 1); (- 1, 5)$ (3)

$\begin{aligned} f (x) = \int - x (x + 1) d x = \int (- x^{2} - x) d x = - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \\ \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C \\ f (- 1) = 5 \Rightarrow \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + C = 5 \Rightarrow C = \frac{31}{6} \\ \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{31}{6} \end{aligned}$

$f^{'} (x) = x^{3} - \frac{2}{x^{2}} + 2; (1, 3)$ (4)

$\begin{aligned} f (x) = \int (x^{3} - \frac{2}{x^{2}} + 2) d x = \int_{0} (x^{3} - 2 x^{- 2} + 2) d x \\ = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{x} + 2 x + C \\ \Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{x} + 2 x + C \\ f (1) = 3 \Rightarrow \frac{1}{4} + 2 + 2 + C = 3 \Rightarrow C = - \frac{5}{4} \\ \Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{x} + 2 x - \frac{5}{4} \end{aligned}$

$f^{'} (x) = x + \sqrt{x}; (1, 2)$ (5)

$\begin{aligned} f (x) = \int (x + \sqrt{x}) d x = \int (x + x^{\frac{1}{2}}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \\ \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C \\ f (1) = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + C = 2 \Rightarrow C = \frac{5}{6} \\ \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + \frac{5}{6} \end{aligned}$

$f^{'} (x) = - \frac{10}{x^{2}}; (1, 15)$ (6)

$\begin{aligned} f (x) = \int - \frac{10}{x^{2}} d x = \int - 10 x^{- 2} d x = 10 x^{- 1} + C = \frac{10}{x} + C \\ \Rightarrow f (x) = \frac{10}{x} + C \\ f (1) = 15 \Rightarrow 10 + C = 15 \Rightarrow C = 5 \\ \Rightarrow f (x) = \frac{10}{x} + 5 \end{aligned}$

(7) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f (x)$ هو $f^{'} (x) = \sqrt{x}$ ، فأجد قاعدة الاقتران $f (x)$ ، علماً بأن منحناه يمر بالنقطة $(9, 25)$ .

$\begin{aligned} f (x) = \int \sqrt{x} d x = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C \\ \Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C \\ f (9) = 25 \Rightarrow \frac{54}{3} + C = 25 \Rightarrow C = 7 \\ \Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 7 \end{aligned}$

(8) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2}}$ ، فأجد قاعدة العلاقة $y$ ، علماً بأن منحناها يمر بالنقطة $(2, 4)$ .

$\begin{aligned} f (x) = \int \frac{2}{x^{2}} d x = \int 2 x^{- 2} d x = - 2 x^{- 1} + C = - \frac{2}{x} + C \\ \Rightarrow f (x) = - \frac{2}{x} + C \\ f (2) = 4 \Rightarrow - 1 + C = 4 \Rightarrow C = 5 \\ \Rightarrow f (x) = - \frac{2}{x} + 5 \end{aligned}$

(9) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 12 x + 8$ ، ومر منحناها بنقطة الأصل، فأجد الإحداثي $x$ لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور $x$ ، مبرراً إجابتي.

$\begin{aligned} f (x) = \int (3 x^{2} - 12 x + 8) d x = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + C \\ \Rightarrow f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + C \\ f (0) = 0 \Rightarrow x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + C = 0 \Rightarrow C = 0 \\ \Rightarrow f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x \end{aligned}$

لإيجاد الإحداثيات لنقاط تقاطع المنحني مع محور $x$ نفرض $y = 0$

$\begin{aligned} 0 = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x \Rightarrow x (x^{2} - 6 x + 8) = 0 \Rightarrow x (x - 2) (x - 4) = 0 \\ \Rightarrow x = 0, x = 2, x = 4 \end{aligned}$

(10) الإيراد الحدي: يمثل الاقتران: $R^{'} (x) = x^{2} - 3$ الإيراد الحدي (بالدينار) لكل قطعة تباع من منتجات إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المبيعة، و $R (x)$ إيراد بيع $x$ قطعة بالدينار. أجد اقتران الإيراد $R (x)$ ، علماً بأن $R (0) = 0$ .

إرشاد: يمثل الإيراد الحدي مشتقة اقتران الإيراد.

$\begin{aligned} R (x) = \int (x^{2} - 3) d x = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + C \\ \Rightarrow R (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + C \\ R (0) = 0 \Rightarrow 0 - 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0 \\ \Rightarrow R (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x \end{aligned}$

(11) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 11$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.

$\begin{aligned} s (t) = \int (3 t^{2} - 12 t + 11) d t = t^{3} - 6 t^{2} + 11 t + C \\ \Rightarrow s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 11 t + C \\ s (0) = 0 \Rightarrow 0 + 0 + 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0 \\ \Rightarrow s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 11 t \\ \Rightarrow s (2) = (2)^{3} - 6 (2)^{2} + 11 (2) = 8 - 24 + 22 = 6 m \end{aligned}$

(12) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: $a (t) = 6 t - 30$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني ، و $a$ التسارع بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 72m/s، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من الحركة.

$\begin{aligned} v (t) = \int (6 t - 30) d t = 3 t^{2} - 30 t + C \\ \Rightarrow v (t) = 3 t^{2} - 30 t + C \\ v (0) = 72 \Rightarrow 0 + 0 + 0 + C = 72 \Rightarrow C = 72 \\ \Rightarrow v (t) = 3 t^{2} - 30 t + 72 \\ s (t) = \int (3 t^{2} - 30 t + 72) d t = t^{3} - 15 t^{2} + 72 t + C \\ \Rightarrow s (t) = t^{3} - 15 t^{2} + 72 t + C \\ s (0) = 0 \Rightarrow 0 + 0 + 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0 \\ \Rightarrow s (t) = t^{3} - 15 t^{2} + 72 t \\ \Rightarrow s (3) = (3)^{3} - 15 (3)^{2} + 72 (3) = 27 - 135 + 216 = 108 m \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

07 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025