أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

الضرب القياسي

الضرب القياسي للمتجهات في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (144):

أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين في كل مما يأتي:

$\vec{v} = ⟨ 4, 8, - 3 ⟩, \vec{w} = ⟨ - 3, 7, 2 ⟩$ (a)

$\vec{v} \cdot \vec{w} = 4 (- 3) + 8 (7) - 3 (2) = - 12 + 56 - 6 = 38$

$\vec{m} = - 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - \hat{k}, \vec{n} = - 12 \hat{i} + 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$ (b)

$\vec{m} \cdot \vec{n} = - 3 (- 12) + 5 (6) - 1 (- 8) = 36 + 30 + 8 = 74$

الزاوية بين متجهين في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (146):

أجد قياس الزاوية $θ$ بين المتجه $\vec{u}$ والمتجه $\vec{W}$ في كل مما يأتي، مقرباً الناتج إلى أقرب عشـر درجة:

$\vec{u} = - 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 4 \hat{k}, \vec{w} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ (a)

$b b b \begin{aligned} | \vec{u} | = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} \\ | \vec{w} | = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29} \\ \vec{u} \cdot \vec{w} = - 3 (4) + 5 (2) - 4 (- 3) = - 12 + 10 + 12 = 10 \\ θ = c o s^{- 1} (\frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{| \vec{u} | | \vec{w} |}) = c o s^{- 1} (\frac{10}{\sqrt{50} \times \sqrt{29}}) = c o s^{- 1} (\frac{10}{\sqrt{1450}}) \approx 74 . 8^{\circ} \end{aligned}$

$\vec{u} = ⟨ 2, - 10, 6 ⟩, \vec{w} = ⟨ - 3, 15, - 9 ⟩$ (b)

$\begin{aligned} | \vec{u} | = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} \\ | \vec{w} | = \sqrt{9 + 225 + 81} = \sqrt{315} \\ \vec{u} \cdot \vec{w} = 2 (- 3) - 10 (15) + 6 (9) = - 6 - 150 - 54 = - 210 \\ \begin{aligned} θ = c o s^{- 1} (\frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{| \vec{u} | | \vec{w} |}) = c o s^{- 1} (\frac{- 210}{\sqrt{140} \times \sqrt{315}}) & = c o s^{- 1} (\frac{- 210}{\sqrt{44100}}) \\ = c o s^{- 1} (- 1) = 180^{\circ} \end{aligned} \end{aligned}$

الزاوية بين مستقيمين في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (147):

إذا كانت: $\vec{r} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ - 1 \end{matrix})$ معادلة متجهة للمستقيم $l_{1}$ ، وكانت: $\vec{r} = (\begin{array}{l} 5 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + u (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})$ معادلة متجهة للمستقيم $l_{2}$ ، فأجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيم $l_{1}$ والمستقيم $l_{2}$ إلى أقرب درجة.

اتجاه المستقيم $l_{1}$ هو $\vec{v} = ⟨ 2, - 5, - 1 ⟩$ واتجاه المستقيم $l_{2}$ هو $\vec{u} = ⟨ 1, 0, - 3 ⟩$

$\begin{aligned} | \vec{v} | = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30} \\ | \vec{u} | = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10} \\ \vec{v} \cdot \vec{u} = 1 (2) + 0 (- 5) - 3 (- 1) = 2 + 3 = 5 \\ θ = c o s^{- 1} (\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |}) = c o s^{- 1} (\frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{30}}) = c o s^{- 1} (\frac{5}{\sqrt{300}}) \approx 73^{\circ} \end{aligned}$

إذن، قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين $l_{2}, l_{1}$ هو $73^{\circ}$ تقريباً.

إيجاد مساحة المثلث باستعمال المتجهات

أتحقق من فهمي صفحة (149):

أجد مساحة المثلث EFG الذي إحداثيات رؤوسه هي:

$E (2, 1, - 1), F (5, 1, 7), G (6, - 3, 1)$ .

$\begin{aligned} \vec{G F} = ⟨ - 1, 4, 6 ⟩ \\ | \vec{G F} | = \sqrt{1 + 16 + 36} = \sqrt{53} \\ \vec{G E} = ⟨ - 4, 4, - 2 ⟩ \\ | \vec{G E} | = \sqrt{16 + 16 + 4} = 6 \\ \vec{G F} \cdot \vec{G E} = - 1 (- 4) + 4 (4) + 6 (- 2) = 4 + 16 - 12 = 8 \end{aligned}$

ليكن قياس الزاوية $EGF$ هو $θ$ ، إذن:

$\begin{aligned} θ = \cos^{- 1} (\frac{\vec{G F} \cdot \vec{G E}}{| \vec{G F} | | \vec{G E} |}) = \cos^{- 1} (\frac{8}{6 \sqrt{53}}) \approx {79.4}^{\circ} \\ A = \frac{1}{2} | \vec{G F} | \times | \vec{G E} | \sin θ \approx \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{53} \sin {79.4}^{\circ} \approx 21.5 \end{aligned}$

ويمكن إيجاد $\sin θ$ من معرفتنا بقيمة $\cos θ$ من دون أيجاد زاوية $θ$ كما يأتي:

$\begin{aligned} \cos θ = \frac{4}{3 \sqrt{53}} \Rightarrow \sin θ = \sqrt{1 - {(\frac{4}{3 \sqrt{53}})}^{2}} = \sqrt{\frac{477 - 16}{477}} = \frac{\sqrt{461}}{3 \sqrt{53}} \\ \Rightarrow A = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{53} \times \frac{\sqrt{461}}{3 \sqrt{53}} = \sqrt{461} \approx 21.5 \end{aligned}$

مسقط العمود على مستقيم من نقطة خارجه

أتحقق من فهمي صفحة (151):

إذا كانت: $\vec{r} = 16 \hat{i} + 11 \hat{j} - 3 \hat{k} + t (5 \hat{i} + 7 \hat{j} - 3 \hat{k})$ معادلة متجهة للمستقيم $l$ ، والنقطة $P (2, 0, \frac{10}{3})$ غير واقعة على المستقيم $l$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين:

(a) أحدد مسقط العمود من النقطة P على المستقيم $l$ .

اتجاه المستقيم $l$ المعطى هو: $\vec{v} = ⟨ 5, 7, - 3 ⟩$

افرض أن مسقط النقطة $P$ على $l$ النقطة $F$ ، فيكون متجه موقعها هو:

$\vec{O F} = (16 + 5 t) \hat{ı} + (11 + 7 t) \hat{ȷ} - (3 + 3 t) \hat{k}$

ويكون العمود من $P$ على $l$ هو $\bar{P F}$ حيث:

$\begin{aligned} \Rightarrow \vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (16 + 5 t) \hat{1} + (11 + 7 t) \hat{ȷ} - (3 + 3 t) \hat{k} - (2 \hat{i} + \frac{10}{3} \hat{k}) \\ \vec{P F} = (14 + 5 t) \hat{i} + (11 + 7 t) \hat{ȷ} - (\frac{19}{3} + 3 t) \hat{k} \end{aligned}$

ولأن المتجهين $\vec{v}, \vec{P F}$ متعامدان فإن $\vec{P F} \cdot \vec{v} = 0$

$\begin{aligned} \Rightarrow 5 (14 + 5 t) + 7 (11 + 7 t) - 3 (- \frac{19}{3} - 3 t) = 0 \Rightarrow t = - 2 \\ \Rightarrow \vec{O F} = (16 + 5 (- 2)) \hat{i} + (11 + 7 (- 2)) \hat{j} - (3 + 3 (- 2)) \hat{k} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 3 \hat{k} \end{aligned}$

إذن مسقط العمود من النقطة $P$ على المستقيم $l$ هو النقطة $F (6, - 3, 3)$

(b) أجد البعد بين النقطة P والمستقيم $l$ .

$P F = \sqrt{(6 - 2)^{2} + (- 3 - 0)^{2} + {(3 - \frac{10}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{226}}{3}$

استعمال المتجهات لتحديد قياسات في أشكال ثلاثية الأبعاد

أتحقق من فهمي صفحة (154):

(a) أجد قياس $∠ E D B$ في الهرم المبين في المثال السابق.

$\begin{aligned} \vec{D E} = ⟨ 7, 8, 2 ⟩ \\ | \vec{D E} | = \sqrt{49 + 64 + 4} = \sqrt{117} \\ \vec{D B} = ⟨ 8, 4, - 8 ⟩ \\ | \vec{D B} | = \sqrt{64 + 16 + 64} = 12 \\ \vec{D E} \cdot \vec{D B} = 7 (8) + 8 (4) + 2 (- 8) = 72 \\ θ = \cos^{- 1} (\frac{\vec{D E} \cdot \vec{D B}}{| \vec{D E} | | \vec{D B} |}) = \cos^{- 1} (\frac{72}{12 \sqrt{117}}) = \cos^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{117}}) \approx {56.3}^{\circ} \end{aligned}$

(b) أجد حجم الهرم.

$A B = \sqrt{8^{2} + (- 2)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{72}$

ارتفاع الهرم هو طول العمود المرسوم من الرأس $E$ إلى قاعدته وهو $E M$ ، حيث $M$ هي نقطة منتصف أحد قطري الفاعدة المربعة: $M = (\frac{1 + 9}{2}, \frac{1 - 7}{2}, \frac{- 1 + 3}{2}) = (5, - 3, 1)$

$E M = \sqrt{(- 3)^{2} + (- 6)^{2} + (- 6)^{2}} = 9$

حجم الهرم يساوي ثلث مساحة قاعدته في ارتفاعه.

$V = \frac{1}{3} (\sqrt{72})^{2} (9) = 72 (3) = 216$

إذن، حجم الهرم يساوي 216 وحدة مربعة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

16 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025