المعدلات المرتبطة

أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المعدلات المرتبطة

معدل تغير المساحة والحجم بالنسبة إلى الزمن

أتحقق من فهمي صفحة 78

تنفخ ماجدة بالوناً على شكل كرة، فيزداد حجمه بمعدل 80 cm³/s . أجد مُعدّل زيادة نصف قطر البالون عندما يكون نصف القطر 6 cm .

ليكن حجم الكرة V ، وطول نصف قطرها r

$\frac{d v}{d t}$ = 80 cm³/s

معدل التغير المعطي:

${\frac{d r}{d t}}_{r = 6}$

معدل التغير المطلوب:

V = $\frac{4}{3}$ πr³

حجم البالون الكروي:

$\frac{d v}{d t}$ = 4πr² $\frac{d r}{d t}$

${\frac{d v}{d t}}_{r = 6}$ = 4π(6)² ${\frac{d r}{d t}}_{r = 6}$

80 = 144π ${\frac{d r}{d t}}_{r = 6}$

${\frac{d r}{d t}}_{r = 6}$ = $\frac{80}{144 π}$

= $\frac{5}{9 π}$ cm/s

معدل تغير المسافة بالنسبة إلى الزمن

أتحقق من فهمي صفحة 80

تحركت السيارة A والسيارة B في الوقت نفسه، ومن النقطة نفسها، بحيث اتجهت السيارة A نحو الشمال بسرعة 45 km/h ، واتجهت السيارة B نحو الشرق بسرعة 40 km/h . أجد مُعدّل تغير البعد بين السيارتين بعد ساعتين من انطلاقهما.

ليكن بعد A عن نقطة الانطلاق يساوي x ، وبعد B عن نقطة الانطلاق يساوي y ، والبعد بين A ، و B يساوي z

معدل التغير المعطى:

$\frac{d x}{d t}$ = 45 km/h , $\frac{d y}{d t}$ = 40 km/h

معدل التغير المطلوب:

${\frac{d z}{d t}}_{t = 2}$

بعد ساعتين من الحركة يكون:

x = 45 x 2 = 90 km , y = 40 x 2 = 80 km

من نظرية فيثاغورس:

z² = x² + y²

^{z = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$}

$\frac{d z}{d t}$ = $\frac{x \frac{d x}{d t} + y \frac{d y}{d t}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

${\frac{d z}{d t}}_{t = 2}$ = $\frac{x \frac{d x}{d t} + y \frac{d y}{d t}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

= $\frac{90 x 45 + 80 x 40}{\sqrt{8100 + 6400}}$ = $\frac{7250}{10 \sqrt{145}}$ = $\frac{725}{\sqrt{145}}$ $\approx$ 60.21 km/h

معدل تغير الزاوية بالنسبة إلى الزمن

أتحقق من فهمي صفحة 82

أمسك ولد ببكرة خيط طائرة ورقية تحلق على ارتفاع 50 m فوق سطح الأرض، وتتحرك أفقياً بسرعة 2 m/s . أجد معدّل تغير الزاوية بين الخيط والمستوى الأفقي عندما يكون طول الخيط 100 m ، علماً بأن ارتفاع يد الولد عن الأرض 1.5 m

ليكن طول الخيط L وقياس الزاوية بي الخيط الأفقي Ɵ ، وبعد الطائرة أفقياً هو x .

المعطى:

$\frac{d x}{d t}$ = 2 m/s

المطلوب:

${\frac{d θ}{d t}}_{L = 100}$

tan Ɵ = $\frac{50 - 1.5}{x}$ = $\frac{48.5}{x}$

sec² Ɵ $\frac{d θ}{d t}$ = - $\frac{48.5 \frac{d x}{d t}}{x^{2}}$

$\frac{L^{2}}{x^{2}}$ x $\frac{d θ}{d t}$ = $\frac{48.5 \frac{d x}{d t}}{x^{2}}$

$\frac{d θ}{d t}$ = $\frac{48.5 (\frac{d x}{d t})}{x^{2}}$ x $\frac{x^{2}}{L^{2}}$ = $\frac{48.5 (\frac{d x}{d t})}{L^{2}}$

${\frac{d θ}{d t}}_{L = 100}$ = $\frac{48.5 (2)}{{(100)}^{2}}$ ≈ -0.0097 rad/s

معدل التغير بالنسبة إلى الزمن والحركة الدائرية

أتحقق من فهمي صفحة 84

أنشئت منارة على جزيرة صغيرة، بحيث كانت على مستوى سطح البحر، وهي تبعد مسافة 3 km عن أقرب نقطة على ساحل مستقيم. إذا كان مصباح المنارة يُكمل 4 دورات في الدقيقة، فأجد سرعة تحرّك بقعة الضوء على خط الساحل عندما تبعد مسافة 1 km عن أقرب نقطة إلى المنارة.

لتكن الأبعاد كما في الشكل أدناه:

المعطى:

$ω$ = $\frac{d θ}{d t}$ = 4(2π) = 8π rad/min

المطلوب:

${\frac{d x}{d t}}_{x = 1}$

tan Ɵ = $\frac{x}{3}$

sec² Ɵ $\frac{d θ}{d t}$ = $\frac{1}{3}$ $\frac{d x}{d t}$

$\frac{x^{2} + 9}{3}$ x $\frac{d θ}{d t}$ = $\frac{1}{3}$ $\frac{d x}{d t}$

$\frac{d x}{d t}$ = (x² + 9) $\frac{d θ}{d t}$

${\frac{d x}{d t}}_{x = 1}$ = (1 + 9) (8π) = 80π km/min

سرعة بقعة الضوء على الساحل 80π km/min عندما تبعد 1 km عن A .

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

14 / 10 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025