المعدلات المرتبطة

مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

المعدلات المرتبطة

(28) تبرير: رُبطت العربتان A و B بحبل طوله 12 m ، وهو يمر بالبكرة P كما في الشكل المجاور. إذا كانت النقطة Q تقع على الأرض بين العربتين أسفل P مباشرة، وتبعد عنها مسافة 4 m ، وكانت العربة A تتحرك بعيداً عن النقطة Q بسرعة 0.5 m/s ، فأجد سرعة اقتراب العربة B من النقطة Q في اللحظة التي تكون فيها العربة A على بُعد 3 m من النقطة Q ، مبرراً إجابتي.

لتكن الأبعاد كما في الشكل أدناه:

المعطى:

$\frac{d x}{d t} = 0 .5 m / s$

المطلوب:

${\frac{d y}{d t} |}_{x = 3}$

طول الحبل:

$A P + B P = \sqrt{x^{2} + 16} + \sqrt{y^{2} + 16} = 12$

عندما x = 3 فإن:

$\begin{aligned} \sqrt{9 + 16} + \sqrt{y^{2} + 16} = 12 \to \sqrt{y^{2} + 16} = 7 \to y = \sqrt{33} \\ \sqrt{x^{2} + 16} + \sqrt{y^{2} + 16} = 12 \\ \frac{x \frac{d x}{d t}}{\sqrt{x^{2} + 16}} + \frac{y \frac{d y}{d t}}{\sqrt{y^{2} + 16}} = 0 \\ \frac{d y}{d t} = - \frac{x \sqrt{y^{2} + 16}}{y \sqrt{x^{2} + 16}} \frac{d t}{d t} \\ {\frac{d y}{d t} |}_{x = 3} = - \frac{3 \sqrt{33 + 16}}{\sqrt{33} \sqrt{25}} \times 0 .5 = - \frac{21}{10 \sqrt{33}} m / s \end{aligned}$

إذن، تقترب العربة B من النقطة Q بسرعة مقدارها $\frac{21}{10 \sqrt{33}} m / s$

(29) تبرير: يركض عداء في مضمار دائري، طول نصف قطره 100 m ، بسرعة ثابتة مقدارها 7 m/s ، ويقف عداء آخر على بعد 200 m من مركز مضمار الركض. أجد معدل تغير المسافة بين العداءين عندما تكون المسافة بينهما 200 m .

تنبيه: أجد جميع الحلول الممكنة.

ليكن العداء الأول A والعداء الثاني B والبعد بينهما x كما في الشكل، وليكن L هو طول القوس الأصغر AD . توجد حالتان لموقع العداء A كما في الرسم الآتي:

الحالة الأولى: العداء A إلى يمين B

المعطى: (لتكن L متناقصة)، ويكون:

$\frac{d L}{d t} = - 7 m / s$

المطلوب:

${\frac{d x}{d t} |}_{x = 200 m}$

$\begin{aligned} \begin{aligned} L = r θ = 100 θ \to \frac{d L}{d t} = 100 \frac{d θ}{d t} \end{aligned} \\ \to \frac{d θ}{d t} = - 0.07 rad / s \\ x^{2} = (200)^{2} + (100)^{2} - 2 (200) (100) c o s θ \\ x^{2} = 50000 - 40000 c o s θ \\ 2 x \frac{d x}{d t} = 40000 s i n θ \frac{d θ}{d t} \\ \frac{d x}{d t} = \frac{20000 s i n θ}{x} \frac{d θ}{d t} \\ c o s θ = \frac{50000 - x^{2}}{40000} \end{aligned}$

عندما x = 200 فإن:

$c o s θ = \frac{50000 - 40000}{40000} = \frac{1}{4}$

ومنه:

$\begin{aligned} s i n θ = \frac{\sqrt{15}}{4} \\ {\frac{d x}{d t} |}_{x = 200} = \frac{20000 \frac{\sqrt{15}}{4}}{200} \times - 0 .07 = - \frac{7 \sqrt{15}}{4} m / s \end{aligned}$

الحالة الثانية: العداء A إلى يسار B

عندئذ يتزايد طول القوس L ، ويكون $\frac{d L}{d t} = 7$ ، ويكون $\frac{d θ}{d t} = 0 .07 rad / s$ ، وعليه فإن:

${\frac{d x}{d t} |}_{x = 200} = \frac{20000 \frac{\sqrt{15}}{4}}{200} \times 0 .07 = \frac{7 \sqrt{15}}{4} m / s$

إذن، عندما تكون المسافة بين العدائين 200 m ، فإنهما يقتربان من بعضهما أو يتباعدان عن بعضهما بسرعة مقدارها $\frac{7 \sqrt{15}}{4} m / s$

(30) تحدّ: سطعت الشمس في أحد الأيام فوق مبنى ارتفاعه 80 m ، فكان طول ظلّ المبنى في هذه اللحظة 60 m كما في الشكل المجاور. أجد معدل تغير طول ظل المبنى في هذه اللحظة بوحدة cm/min ، مقرباً إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة، علماً بأنّ الشمس في هذا اليوم ستمر فوق المبنى تماماً.

إرشاد: تُكمل الأرض دورة كاملة حول نفسها كل 24 ساعة.

ليكن طول ظل المبنى x ، وزاوية ارتفاع الشمس Ɵ .

الشمس في هذا اليوم ستمر فوق المبنى تماماً، يعني أن الزاوية Ɵ متزايدة.

المعطى:

$\frac{d θ}{d t} = \frac{2 π rad}{24 h} = \frac{π}{12} \frac{rad}{h} = \frac{π rad}{12 \times 60 \min} = \frac{π}{720} rad / \min$

المطلوب:

${\frac{d x}{d t} |}_{x = 60}$

العلاقة التي تربط المتغيرين هي:

$\begin{aligned} t a n θ & = \frac{80}{x} \\ s e c^{2} θ \frac{d θ}{d t} & = - \frac{80}{x^{2}} \frac{d x}{d t} \\ \frac{d x}{d t} & = - \frac{x^{2} s e c^{2} θ}{80} \times \frac{d θ}{d t} \end{aligned}$

عندما x = 60 فإن: طول وتر المثلث القائم في الشكل أعلاه يساوي: $\sqrt{60^{2} + 80^{2}} = 100$

ومنه: $s e c θ = \frac{100}{60} = \frac{5}{3}$

إذن:

${\frac{d x}{d t} |}_{x = 60} = - \frac{60^{2} (\frac{25}{9})}{80} \times \frac{π}{720} = - \frac{25 π}{144} m / \min$

لتحويل الوحدة إلى cm/min نضرب السرعة في 100 ، فتكون:

${\frac{d x}{d t} |}_{x = 60} = - \frac{2500 π}{144} cm / \min$

إذن يتناقص طول ظل البناية في تلك اللحظة بسرعة مقدارها 54.5 cm/min تقريباً.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

04 / 11 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025