المعدلات المرتبطة

إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

المعدلات المرتبطة

ملىء بالون بالهيليوم بمعدل 8 cm³/s . أجد معدل تغير نصف قطر البالون في كل من الحالات الآتية:

(1) عندما يكون طول نصف قطره 12 cm .

المعطى: $\frac{d V}{d t} = 8$

المطلوب: ${\frac{d r}{d t} |}_{r = 12}$

$\begin{aligned} V = \frac{4}{3} π r^{3} \to \frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \frac{d r}{d t} \\ {\to \frac{d V}{d t} |}_{r = 12} = {576 π \frac{d r}{d t} |}_{r = 12} = {8 \to \frac{d r}{d t} |}_{r = 12} = \frac{8}{576 π} = \frac{1}{72 π} cm / s \end{aligned}$

(2) عندما يكون حجمه 1435 cm³ (أقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من مئة).

المطلوب: ${\frac{d γ}{d t} |}_{V = 1435}$

$\begin{aligned} r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}} = {(\frac{3 V}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \\ {\frac{d r}{d t} |}_{r = 12} = \frac{1}{3} {(\frac{3 V}{4 π})}^{\frac{- 2}{3}} \times {\frac{3}{4 π} \frac{d V}{d t} |}_{r = 12} \\ = \frac{1}{3} {(\frac{3 (1435)}{4 π})}^{\frac{- 2}{3}} \times \frac{3}{4 π} \times 8 \\ = \frac{2}{π} {(\frac{4305}{4 π})}^{\frac{- 2}{3}} = \frac{2}{π} {(\frac{4 π}{4305})}^{\frac{2}{3}} \\ = \frac{2}{π} \times \sqrt[3]{{(\frac{4 π}{4305})}^{2}} \approx 0 .01 cm / s \end{aligned}$

حل آخر:

عندما يكون الحجم 1435 cm³ يكون طول نصف القطر $\sqrt[3]{\frac{3 (1435)}{4 π}} \approx 7 cm$

نستعمل العلاقة بين المعدلين من السؤال 1 السابق.

$\begin{aligned} \frac{d V}{d t} & = 4 π r^{2} \frac{d r}{d t} \\ {\frac{d V}{d t} |}_{r = 7} & = {196 π \frac{d r}{d t} |}_{r = 7} = {8 \to \frac{d r}{d t} |}_{r = 7} = \frac{8}{196 π} \approx 0 .01 cm / s \end{aligned}$

(3) إذا ملىء مدّة 33.5 s .

$t = 33 .5 \to V = 8 \times 33 .5 = 268 {cm}^{3}$

عندما يكون الحجم 268 cm³ يكون طول نصف القطر $\sqrt[3]{\frac{3 (268)}{4 π}} \approx 4 cm$

${\to \frac{d V}{d t} |}_{r = 4} = {64 π \frac{d r}{d t} |}_{r = 4} = {8 \to \frac{d r}{d t} |}_{r = 4} = \frac{8}{64 π} = \frac{1}{8 π} \approx 0 .04 cm / s$

(4) تمثل المعادلة: V = IR جهد الدارة الكهربائية (بالفولت) المبينة في الشكل المجاور، حيث I شدة التيار بالأمبير، و R المقاومة بالأوم. إذا كان جهد الدارة يزداد بمعدل 1 volt/sec ، وشدة التيار تقل بمعدل $\frac{1}{3}$ amp/sec ، فأوجد معدل تغير R عندما V = 12 ، و I = 2 .

$\begin{aligned} V = I R \\ \frac{d V}{d t} = I \frac{d R}{d t} + R \frac{d I}{d t} \end{aligned}$

المعطى: $\frac{d V}{d t} = 1, \frac{d I}{d t} = - \frac{1}{3}$

المطلوب: $\frac{d R}{d t}$ عندما I = 2 , V = 12

عندما I = 2 , V = 12 ، فإن R = 6 بالتعويض في المعادلة أعلاه ينتج أّنّ:

$1 = 2 \frac{d R}{d t} + 6 (- \frac{1}{3}) \to \frac{d R}{d t} = 1 .5 Ω / s$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

27 / 12 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025