أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(1) $\int (e^{2 x - 3} - \sqrt{x}) d x$

$\int (e^{2 x - 3} - \sqrt{x}) d x = \int (e^{2 x - 3} - x^{1 / 2}) d x = \frac{1}{2} e^{2 x - 3} - \frac{2}{3} x^{3 / 2} + C$

(2) $\int (e^{0.5 x} - \frac{3}{e^{0.5 x}}) d x$

$\int (e^{0 .5 x} - \frac{3}{e^{0 .5 x}}) d x = \int (e^{0 .5 x} - 3 e^{- 0 .5 x}) d x = 2 e^{0 .5 x} + 6 e^{- 0 .5 x} + C$

(3) $\int (4 \sin 5 x - 5 \cos 4 x) d x$

$\int (4 \sin 5 x - 5 \cos 4 x) d x = - \frac{4}{5} \cos 5 x - \frac{5}{4} \sin 4 x + C$

(4) $\int (3 \sec x \tan x - \frac{2}{5 x}) d x$

$\int (3 \sec x \tan x - \frac{2}{5 x}) d x = 3 \sec x - \frac{2}{5} \ln | x | + C$

(5) $\int {(\sqrt{e^{x}} - \frac{1}{\sqrt{e^{x}}})}^{2} d x$

$\begin{aligned} \int {(\sqrt{e^{x}} - \frac{1}{\sqrt{e^{x}}})}^{2} d x & = \int (e^{x} - 2 + \frac{1}{e^{x}}) d x \\ = \int (e^{x} - 2 + e^{- x}) d x \\ = e^{x} - 2 x - e^{- x} + C \end{aligned}$

(6) $\int (\sin (5 - 3 x) + 2 + 4 x^{2}) d x$

$\int (\sin (5 - 3 x) + 2 + 4 x^{2}) d x = \frac{1}{3} \cos (5 - 3 x) + 2 x + \frac{4}{3} x^{3} + C$

(7) $\int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

$\int {(e^{x} + 1)}^{2} d x = \int (e^{2 x} + 2 e^{x} + 1) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

(8) $\int (e^{4 - x} + \sin (4 - x) + \cos (4 - x)) d x$

$\begin{aligned} \int (e^{4 - x} + \sin (4 - x) + \cos (4 - x)) d x \\ = - e^{4 - x} + \cos (4 - x) - \sin (4 - x) + C \end{aligned}$

(9) $\int \frac{x^{4} - 6}{2 x} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{x^{2} - 6}{2 x} d x & = \int (\frac{1}{2} x - \frac{3}{x}) d x \\ = \frac{1}{4} x^{2} - 3 l n | x | + C \end{aligned}$

(10) $\int (3 \csc^{2} (3 x + 2) + \frac{5}{x}) d x$

$\int (3 c s c^{2} (3 x + 2) + \frac{5}{x}) d x = - c o t (3 x + 2) + 5 l n | x | + C$

(11) $\int \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} d x$

$\int \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} d x = \int (1 + e^{- x}) d x = x - e^{- x} + C$

(12) $\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

$\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x = l n | e^{x} + 4 | + C = l n (e^{x} + 4) + C$

(13) $\int \frac{\cos 2 x}{\sin x \cos x + 4} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{c o s 2 x}{s i n x c o s x + 4} d x & = \int \frac{c o s 2 x}{\frac{1}{2} s i n 2 x + 4} d x \\ = l n | \frac{1}{2} s i n 2 x + 4 | + C = l n (\frac{1}{2} s i n 2 x + 4) + C \end{aligned}$

(14) $\int \frac{d x}{5 - \frac{x}{3}}$

$\begin{aligned} \int \frac{d x}{5 - \frac{x}{3}} & = - 3 \int \frac{- \frac{1}{3}}{5 - \frac{x}{3}} d x \\ = - 3 l n | 5 - \frac{x}{3} | + C \end{aligned}$

(15) $\int \frac{1}{1 - \sin x} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{1}{1 - s i n x} d x & = \int \frac{1}{1 - s i n x} \times \frac{1 + s i n x}{1 + s i n x} d x \\ = \int \frac{1 + s i n x}{1 - s i n^{2} x} d x \\ = \int \frac{1 + s i n x}{c o s^{2} x} d x \\ = \int (s e c^{2} x + t a n x s e c x) d x \\ = t a n x + s e c x + C \end{aligned}$

(16) $\int \sec^{2} x (1 + e^{x} \cos^{2} x) d x$

$\begin{aligned} \int \sec^{2} x (1 + e^{x} \cos^{2} x) d x & = \int (\sec^{2} x + e^{x}) d x \\ = \tan x + e^{x} + C \end{aligned}$

(17) $\int (\frac{2}{x} - 2^{x}) d x$

$\int (\frac{2}{x} - 2^{x}) d x = 2 \ln | x | - \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

(18) $\int \sin 3 x \cos 2 x d x$

$\begin{aligned} \int \sin 3 x \cos 2 x d x & = \frac{1}{2} \int (\sin 5 x + \sin x) d x \\ = - \frac{1}{10} \cos 5 x - \frac{1}{2} \cos x + C \end{aligned}$

$\int \frac{2 x + 3}{3 x^{2} + 9 x - 1} d x$ (19)

$\begin{aligned} \int \frac{2 x + 3}{3 x^{2} + 9 x - 1} d x & = \frac{1}{3} \int \frac{6 x + 9}{3 x^{2} + 9 x - 1} d x \\ = \frac{1}{3} \ln | 3 x^{2} + 9 x - 1 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} d x$ (20)

$\begin{aligned} \int \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} d x & = \int (\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}) d x \\ = \int (1 + \frac{1}{2} \times \frac{2 x}{x^{2} + 1}) d x \\ = x + \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C \end{aligned}$

$\int (\frac{1 + \cos x}{\sin^{2} x} + (\sin^{2} x \csc x)) d x$ (21)

$\begin{aligned} \int (\frac{1 + \cos x}{\sin^{2} x} + \sin^{2} x \csc x) d x & = \int (\csc^{2} x + \cot x \csc x + \sin x) d x \\ = - \cot x - \csc x - \cos x + C \end{aligned}$

$\int (\sec x + \tan x)^{2} d x$ (22)

$\begin{aligned} \int (\sec x + \tan x)^{2} d x & = \int (\sec^{2} x + 2 \sec x \tan x + \tan^{2} x) d x \\ = \int (\sec^{2} x + 2 \sec x \tan x + \sec^{2} x - 1) d x \\ = \int (2 \sec^{2} x + 2 \sec x \tan x - 1) d x \\ = 2 \tan x + 2 \sec x - x + C \end{aligned}$

$\int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$ (23)

$\int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x = \ln (e^{x} + e^{- x}) + C$

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} - 3} d x$ (24)

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} - 3} d x = \frac{1}{3} \int \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 3} d x = \frac{1}{3} \ln | x^{3} - 3 | + C$

$\int (9 \cos^{2} x - \sin^{2} x - 6 \sin x \cos x) d x$ (25)

$\begin{aligned} \int (9 \cos^{2} x - \sin^{2} x - 6 \sin x \cos x) d x \\ = \int (9 \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x) - 6 \sin x \cos x) d x \\ = \int (10 \cos^{2} x - 1 - 6 \sin x \cos x) d x \\ = \int (10 (\frac{1 + \cos 2 x}{2}) - 1 - 3 \sin 2 x) d x \\ = \int (5 + 5 \cos 2 x - 1 - 3 \sin 2 x) d x = \int (4 + 5 \cos 2 x - 3 \sin 2 x) d x \\ = 4 x + \frac{5}{2} \sin 2 x + \frac{3}{2} \cos 2 x + C \end{aligned}$

$\int (\cos^{4} x - \sin^{4} x) d x$ (26)

$\begin{aligned} \int (\cos^{4} x - \sin^{4} x) d x & = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) (\cos^{2} x + \sin^{2} x) d x \\ = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) d x \\ = \int \cos 2 x d x \\ = \frac{1}{2} \sin 2 x + C \end{aligned}$

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

$\int_{0}^{π} 2 \cos \frac{1}{2} x d x \int_{0}^{π} 2 \cos \frac{1}{2} x d x$ (27)

$\int_{0}^{π} 2 \cos \frac{1}{2} x d x = {4 \sin \frac{1}{2} x |}_{0}^{π} = 4 (\sin \frac{π}{2} - \sin 0) = 4$

$\int_{0}^{2 π} | \sin x | d x$ (28)

$\begin{aligned} | s i n x | = {\begin{aligned} s i n x & , 0 \leq x \leq π \\ - s i n x & , π < x \leq 2 π \end{aligned} \\ \int_{0}^{2 π} | s i n x | d x = \int_{0}^{π} s i n x d x + \int_{π}^{2 π} - s i n x d x \\ = - {c o s x |}_{0}^{π} + {c o s x |}_{π}^{2 π} \\ = - (c o s π - c o s 0) + c o s 2 π - c o s π \\ = - (- 2) + 1 - (- 1) = 4 \end{aligned}$

$\int_{π / 6}^{π / 3} 3 \tan^{2} x d x$ (29)

$\begin{aligned} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} x d x & = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 (\sec^{2} x - 1) d x \\ = {3 (\tan x - x) |}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \\ = 3 (\tan \frac{π}{3} - \frac{π}{3}) - 3 (\tan \frac{π}{6} - \frac{π}{6}) \\ = 2 \sqrt{3} - \frac{π}{2} \end{aligned}$

$\int_{1}^{e} \frac{8 x}{x^{2} + 1} d x$ (30)

$\begin{aligned} \int_{1}^{e} \frac{8 x}{x^{2} + 1} d x & = 4 \int_{1}^{e} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x \\ = {4 \ln | x^{2} + 1 | |}_{1}^{e} \\ = 4 \ln (e^{2} + 1) - 4 \ln 2 \\ = 4 \ln (\frac{e^{2} + 1}{2}) \end{aligned}$

$\int_{0}^{π / 6} \sin 3 x \cos x d x$ (31)

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin 3 x \cos x d x & = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sin 4 x + \sin 2 x) d x \\ = {(- \frac{1}{8} \cos 4 x - \frac{1}{4} \cos 2 x) |}_{0}^{\frac{π}{6}} \\ = - \frac{1}{8} \cos \frac{4 π}{6} - \frac{1}{4} \cos \frac{2 π}{6} - (- \frac{1}{8} \cos 0 - \frac{1}{4} \cos 0) \\ = \frac{5}{16} \end{aligned}$

$\int_{π / 4}^{π / 3} \frac{\cot^{2} x}{1 + \cot^{2} x} d x$ (32)

$\begin{aligned} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cot^{2} x}{1 + \cot^{2} x} d x & = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cot^{2} x}{\csc^{2} x} d x \\ = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} \csc^{2} x} d x \\ = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x (\frac{1}{\sin^{2} x})} d x \\ = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} x d x \\ = \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (1 + \cos 2 x) d x \\ = {\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2 x) |}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \\ = \frac{π}{6} + \frac{1}{4} \sin \frac{2 π}{3} - (\frac{π}{8} + \frac{1}{4} \sin \frac{2 π}{4}) \end{aligned}$

$\int_{0}^{3} (x - 5^{x}) d x$ (33)

$\begin{aligned} \int_{0}^{3} (x - 5^{x}) d x & = {(\frac{1}{2} x^{2} - \frac{5^{x}}{\ln 5}) |}_{0}^{3} \\ = \frac{9}{2} - \frac{125}{\ln 5} - (0 - \frac{1}{\ln 5}) = \frac{9}{2} - \frac{124}{\ln 5} \end{aligned}$

$\int_{0}^{4} | x^{2} - 4 x + 3 | d x$ (34)

$\begin{aligned} | x^{2} - 4 x + 3 | = {\begin{array}{cc} x^{2} - 4 x + 3 & , x < 1 \\ - x^{2} + 4 x - 3, 1 \leq x \leq 3 \\ x^{2} - 4 x + 3 & , x > 3 \end{array} \\ \int_{0}^{4} | x^{2} - 4 x + 3 | d x \\ = \int_{0}^{1} (x^{2} - 4 x + 3) d x + \int_{1}^{3} (- x^{2} + 4 x - 3) d x + \int_{3}^{4} (x^{2} - 4 x + 3) d x \\ = {(\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) |}_{0}^{1} + {(- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) |}_{1}^{3} + {(\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) |}_{3}^{4} \\ = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 0 + (- 9 + 18 - 9) - (- \frac{1}{3} + 2 - 3) + \frac{64}{3} - 32 + 12 \end{aligned}$

$\int_{1}^{4} (3 - | x - 3 |) d x$ (35)

$\begin{aligned} | x - 3 | = {\begin{cases} 3 - x & , x \leq 3 \\ x - 3 & , x > 3 \end{cases} \\ \int_{1}^{4} (3 - | x - 3 |) d x = \int_{1}^{3} (3 - (3 - x)) d x + \int_{3}^{4} (3 - (x - 3)) d x \\ = \int_{1}^{3} x d x + \int_{3}^{4} (6 - x) d x \\ = {\frac{1}{2} x^{2} |}_{1}^{3} + {(6 x - \frac{1}{2} x^{2}) |}_{3}^{4} \\ = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} + 24 - 8 - (18 - \frac{9}{2}) \\ = \frac{13}{2} \end{aligned}$

(36) إذا كان $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 4 & , x < 0 \\ 4 - x & , x \geq 0 \end{cases}$ ، فأجد قيمة: $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$ .

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} f (x) d x & = \int_{- 1}^{0} (x^{2} + 4) d x + \int_{0}^{1} (4 - x) d x \\ = {(\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) |}_{- 1}^{0} + {(4 x - \frac{1}{2} x^{2}) |}_{0}^{1} \\ = 0 - (- \frac{1}{3} - 4) + 4 - \frac{1}{2} - 0 \\ = \frac{47}{6} \end{aligned}$

(37) أجد مساحة المنطقة المظللة بين المحور x ومنحنى الاقتران: $f (x) = e^{0.5 x} - 2$ الممثل في الشكل المجاور.

$\begin{aligned} A = \int_{2}^{4} (e^{0.5 x} - 2) d x & = {(2 e^{0.5 x} - 2 x) |}_{2}^{4} \\ = 2 e^{2} - 8 - (2 e - 4) \\ = 2 e^{2} - 2 e - 4 \end{aligned}$

(38) إذا كان: $\int_{a}^{3 a} \frac{2 x + 1}{x} d x = \ln 12$ ، فأجد قيمة الثابت a، حيث: $a > 0$ .

$\begin{aligned} \int_{a}^{3 a} \frac{2 x + 1}{x} d x = \int_{a}^{3 a} 2 + \frac{1}{x} d x \\ = {(2 x + \ln | x |) |}_{a}^{3 a} \\ = 6 a + \ln 3 a - 2 a - \ln a \\ = 4 a + \ln 3 \\ \Rightarrow 4 a + \ln 3 = \ln 12 \\ \Rightarrow 4 a = \ln 12 - \ln 3 \\ 4 a = \ln \frac{12}{3} \\ \Rightarrow a = \frac{1}{4} \ln 4 \end{aligned}$

(39) أثبت أن: $\int_{0}^{a} \frac{x}{x^{2} + a^{2}} d x = \ln \sqrt{2}$ ، حيث: $a \neq 0$ .

$\begin{aligned} \int_{0}^{a} \frac{x}{x^{2} + a^{2}} d x & = \frac{1}{2} \int_{0}^{a} \frac{2 x}{x^{2} + a^{2}} d x \\ = {\frac{1}{2} \ln (x^{2} + a^{2}) |}_{0}^{a} \\ = \frac{1}{2} (\ln (2 a^{2}) - \ln (a^{2})) = \frac{1}{2} \ln 2 = \ln \sqrt{2} \end{aligned}$

(40) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران: $f (x) = \frac{4}{x}$ . إذا كانت مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f (x)$ ، والمحور x، والمستقيمين: $x = a ، x = 1$ ، هي 10 وحدات مربعة، فأجد قيمة الثابت a.

$\begin{aligned} A = \int_{1}^{a} \frac{4}{x} d x = {4 \ln | x | |}_{1}^{a} = 4 \ln a - 4 \ln 1 = 4 \ln a \\ \Rightarrow 4 \ln a = 10 \Rightarrow \ln a = \frac{5}{3} \Rightarrow a = e^{\frac{5}{2}} \end{aligned}$

(41) إذا كان: $f (x) = \int \cos (\frac{1}{2} x + π) d x$ ، وكان: $f (π) = 3$ ، فأجد $f (0)$ .

$\begin{aligned} f (x) = \int \cos (\frac{1}{2} x + π) d x = 2 \sin (\frac{1}{2} x + π) + C \\ f (π) = 2 \sin (\frac{1}{2} π + π) + C \\ 3 = 2 \sin \frac{3 π}{2} + C \\ 3 = - 2 + C \Rightarrow C = 5 \\ \Rightarrow f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x + π) + 5 \\ \Rightarrow f (0) = 2 \sin π + 5 = 5 \end{aligned}$

(42) إذا كان: $y = \int \sin (\frac{π}{2} - 2 x) d x$ ، وكان: 1=y عندما $x = \frac{π}{4}$ ، فأثبت أنه يمكن كتابة y في صورة: $y = \frac{1 + \sin 2 x}{2}$ .

$\begin{aligned} y = \int \sin (\frac{π}{2} - 2 x) d x = \frac{- \cos (\frac{π}{2} - 2 x)}{- 2} + C = \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{2} - 2 x) + C \\ {y |}_{x = \frac{π}{4}} = \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + C \\ 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{2} - 2 x) + \frac{1}{2} \\ \Rightarrow y = \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{2} \\ \Rightarrow y = \frac{1 + \sin 2 x}{2} \end{aligned}$

(43) يمثل الاقتران: $\frac{d y}{d x} = e^{2 x} - 2 e^{- x}$ ميل المماس لمنحنى الاقتران y. أجد قاعدة الاقتران y إذا علمت أن منحناه يمر بالنقطة (0,1).

$\begin{aligned} y = \int (e^{2 x} - 2 e^{- x}) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{- x} + C \\ {y |}_{x = 0} = \frac{1}{2} + 2 + C \\ 1 = \frac{5}{2} + C \Rightarrow C = - \frac{3}{2} \\ \Rightarrow y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{- x} - \frac{3}{2} \end{aligned}$

(44) إذا كان: $\int_{π / 9}^{π} (9 + \sin 3 x) d x = a π + b$ ، فأجد قيمة الثابتين النسبيين: a وb.

$\begin{aligned} \int_{\frac{π}{9}}^{π} (9 + \sin 3 x) d x = {(9 x - \frac{1}{3} \cos 3 x) |}_{\frac{π}{9}}^{π} \\ = 9 π - \frac{1}{3} \cos 3 π - π + \frac{1}{3} \cos \frac{π}{3} \\ = 8 π + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \\ = 8 π + \frac{1}{2} \\ \Rightarrow 8 π + \frac{1}{2} = a π + b \end{aligned}$

ونظراً لأن a وb نسبيان، فلا يوجد حل لهذه المعادلة سوى أن يكون: $a = 8, b = \frac{1}{2}$

(45) يمثل الاقتران: $f^{'} (x) = \cos^{2} x$ ميل المماس لمنحنى الاقتران $f (x)$ . أجد قاعدة الاقتران f إذا علمت أن يمر بنقطة الأصل.

$\begin{aligned} f (x) & = \int \cos^{2} x d x = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 x) d x = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2 x) + C \\ f (0) & = \frac{1}{2} (0 + \frac{1}{2} \sin 0) + C \\ 0 & = 0 + C \Rightarrow C = 0 \\ f (x) & = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x \end{aligned}$

يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v (t) = e^{- 2 t}$ ، حيث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 3m، فأجد كلاً مما يأتي:

(46) موقع الجسيم بعد t ثانية.

$\begin{aligned} s (t) & = \int e^{- 2 t} d t = - \frac{1}{2} e^{- 2 t} + C \\ s (0) & = - \frac{1}{2} + C = 3 \Rightarrow C = \frac{7}{2} \\ 3 & = - \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{7}{2} \\ s (t) & = - \frac{1}{2} e^{- 2 t} + \frac{7}{2} \end{aligned}$

(47) موقع الجسيم بعد 100 ثانية.

$s (100) = - \frac{1}{2} e^{- 200} + \frac{7}{2} \approx 3.5 m$

بيئة: في دراسة تناولت أحد أنواع الحيوانات المهددة بالانقراض في غابة، تبين أن عدد حيوانات هذا النوع (t)P يتغير بمعدل: $P^{'} (t) = - 0.51 e^{- 0.03 t}$ ، حيث t الزمن بالسنوات بعد بدء الدراسة:

(48) أجد قاعدة الاقتران (t)P عند أي زمن t، علما بأن عدد حيوانات هذا النوع عند بدء الدراسة هو 500 حيوان.

$\begin{aligned} P (t) = \int - 0.51 e^{- 0.03 t} d t = \frac{- 0.51}{- 0.03} e^{- 0.03 t} + C = 17 e^{- 0.03 t} + C \\ P (0) = 17 + C \\ 500 = 17 + C \Rightarrow C = 483 \\ P (t) = 17 e^{- 0.03 t} + 483 \end{aligned}$

(49) أجد عدد الحيوانات بعد 10 سنوات من بدء الدراسة، مقرباً إجابتي إلى أقرب عدد صحيح.

$P (10) = 17 e^{- 0.3} + 483 \approx 496$

طب: في تجربة لدواء جديد أعطي لمريض لديه ورم حميد، حجمه $30 {cm}^{3}$ ، تبين أن حجم الورم بعد t يوماً من بدء التجربة يتغير بمعدل: $P^{'} (t) = 0.15 - 0.9 e^{0.006 t}$ مقيساً بوحدة $({cm}^{3} / day)$ :

(50) أجد قاعدة حجم الورم بعد t يوماً من بدء التجرية.

$\begin{aligned} P (t) = \int (0.15 - 0.9 e^{0.006 t}) d t \\ = 0.15 t - \frac{0.9}{0.006} e^{0.006 t} + C \\ = 0.15 t - 150 e^{0.006 t} + C \\ P (0) = - 150 + C \\ 30 = - 150 + C \Rightarrow C = 180 \\ P (t) = 0.15 t - 150 e^{0.006 t} + 180 \end{aligned}$

(51) أجد حجم الورم بعد 10 أيام من بدء التجربة.

$P (10) = 1.5 - 150 e^{0.06} + 180 \approx 22.2 {cm}^{3}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

14 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025