إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

المساحة

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلات البيانية الآتية:

التمثيل البياني للسؤال 1

$\begin{aligned} A & = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x \\ = {(\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}) |}_{0}^{1} + {(\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}) |}_{1}^{2} \\ = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = 1 \end{aligned}$

التمثيل البياني للسؤال 2

$\begin{aligned} A & = \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \\ = \int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x \\ = {2 x^{\frac{1}{2}} |}_{4}^{9} = 6 - 4 = 2 \end{aligned}$

التمثيل البياني للسؤال 3

$\begin{aligned} A & = \int_{- 1}^{4} (4 + 3 x - x^{2}) d x \\ = {(4 x + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}) |}_{- 1}^{4} \\ = (16 + 24 - \frac{64}{3}) - (- 4 + \frac{3}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{125}{6} \end{aligned}$

التمثيل البياني للسؤال 4

$\begin{aligned} A & = - \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} + x - 2) d x \\ = - {(x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x) |}_{- 1}^{0} \\ = - ((0) - (- 1 + \frac{1}{2} + 2)) = \frac{3}{2} \end{aligned}$

التمثيل البياني للسؤال 5

$\begin{aligned} A & = \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x \\ = {(x - \frac{1}{3} x^{3}) |}_{- 1}^{1} \\ = (1 - \frac{1}{3}) - (- 1 + \frac{1}{3}) = \frac{4}{3} \end{aligned}$

التمثيل البياني للسؤال 6

$\begin{aligned} A & = \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x \\ = {(1 - x^{2}) |}_{0}^{1} + {(x^{2} - 1) |}_{1}^{2} = 2 \end{aligned}$

(7) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = 3 x^{2} - 3$ ، والمحور $x$ .

$\begin{aligned} 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \\ \begin{aligned} A & = \int_{- 1}^{1} (3 - 3 x^{2}) d x \\ = {(3 x - x^{3}) |}_{- 1}^{1} \\ = (3 - 1) - (- 3 + 1) = 4 \end{aligned} \end{aligned}$

(8) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين متحتى الاقتران: $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 6 x$ ، والمحور $x$ .

$\begin{aligned} \begin{aligned} x^{3} - 5 x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 5 x - 6) = 0 \\ \Rightarrow x (x - 6) (x + 1) = 0 \\ \Rightarrow x = 0, x = 6, x = - 1 \\ A = \int_{- 1}^{0} (x^{3} - 5 x^{2} - 6 x) d x + \int_{0}^{6} (- x^{3} + 5 x^{2} + 6 x) d x \\ = {(\frac{1}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} - 3 x^{2}) |}_{- 1}^{0} + {(- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{3} x^{3} + 3 x^{2}) |}_{0}^{6} \\ = (0) - (\frac{1}{4} + \frac{5}{3} - 3) + (- 324 + 360 + 108) - (0) = \frac{1741}{12} \end{aligned} \end{aligned}$

(9) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = x^{2} (2 - x)$ ، والمحور $x$ .

$\begin{aligned} x^{2} & (2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2 \\ A & = \int_{0}^{2} x^{2} (2 - x) d x \\ = \int_{0}^{2} (2 x^{2} - x^{3}) d x \\ = {(\frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4}) |}_{0}^{2} \\ = (\frac{16}{3} - 4) - (0) = \frac{4}{3} \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

09 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025