أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

المساحة

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلات البيانية الآتية:

التمثيل البياني للسؤال 1

A=21(x2+2)dx=(13x3+2x)|21=(13(1)3+2(1))(13(2)3+2(2))=9

التمثيل البياني للسؤال 2

A=49x32dx=(25x52)|49=(25x52)|49=(25952)(25452)=4225

التمثيل البياني للسؤال 3

A=24(2x23)dx=24(2x23)dx=24(2x2+3)dx=(2x1+3x)|24=(2x+3x)|24=(24+3(4))(22+3(2))=112

التمثيل البياني للسؤال 4

A=10(x33x)dx01(x33x)dx=10(x33x)dx+01(x3+3x)dx=(14x432x2)|10+(14x4+32x2)|01=(0)(14(1)432(1)2)+(14(1)4+32(1)2)(0)=52

التمثيل البياني للسؤال 5

A=03(x+1)dx=(12x2+x)|03=(12(3)2+3)(12(0)2+0)=152

التمثيل البياني للسؤال 6

A=023x2dx=x3|03=(33)(03)=27

(7) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران:f(x)=3x22x+2، والمحور x، والمستقيمين: x=0,x=2

f(x)=3x22x+2

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=03x22x+2=0

نحسب المميز:

Δ=b24ac=(2)24(3)(2)=20

بما أن المميز سالب، إذن لا يوجد حلول لهذه المعادلة، وتكون حدود التكامل هي 0 و 2 نختار عدداً ضمن الفترة [0,2]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(1)=3(1)22(1)=1>0

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [2,0] 

A=02(3x22x+2)dx=(13x3x2+2x)|02=(13(2)3(2)2+2(2))(13(0)3(0)2+2(0))=83

إذن، المساحة هي: 83 وحدة مربعة.

(8) جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=9x2، والمحور x

f(x)=9x2

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=09x2=0(3+x)(3x)=0x=3,x=3

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [3,3-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(0)=9(0)2=9>0

 

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [3,3-] 

A=33(9x2)dx=(9x13x3)|33=(9(3)13(3)3)(9(3)13(3)3)=36

إذن، المساحة هي: 36 وحدة مربعة.

(9) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=x3+4x، والمحور x، والمستقيمين: x=-1,x=2

f(x)=x3+4x

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=0x3+4x=0x(x2+4)=0x=0

مميز العبارة التربيعية (x2+4) سالب، لذا لا أصفار لها.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,0-]، وليكن -12 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(12)=(12)3+4(12)=172<0

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,0-] 

نختار عدداً ضمن الفترة [0,2]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(1)=(1)3+4(1)=5>0

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [0,2]

 A=10(x3+4x)dx+02(x3+4x)dx=10(x34x)dx+02(x3+4x)dx=(14x42x2)|10+(14x4+2x2)|02=((0)(14(1)42(1)2))+((14(2)4+2(2)2)(0))=254

إذن، المساحة هي: 254 وحدة مربعة.

(10) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=7+2xx2، والمحور x، والمستقيمين: x=1,x=4

f(x)=7+2xx2

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=07+2xx2=0

نحسب المميز:

Δ=b24ac=(2)24(1)(7)=24

بما أن المميز سالب، إذن لا يوجد حلول لهذه المعادلة، وتكون حدود التكامل هي 1 و 4 نختار عدداً ضمن الفترة [1,4]، وليكن 2 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(1)=7+2(1)(1)2=6<0

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,4] 

A=14(7+2xx2)dx=14(72x+x2)dx=(7xx2+13x3)|14=(7(4)(4)2+13(4)3)(7(1)(1)2+13(1)3)=27

إذن، المساحة هي: 27 وحدة مربعة.

(11) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=5x، والمحور x، والمستقيمين: x=3,x=5

f(x)=5x

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=05x=0x=5

نختار عدداً ضمن الفترة [3,5]، وليكن 4 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(4)=5(4)=1>0

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [3,5] 

A=35(5x)dx=(5x12x2)|35=((5(5)12(5)2)(5(3)12(3)2))=2

إذن، المساحة هي: 2 وحدة مربعة.

(12) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=(x+1)(x4)، والمحور x

f(x)=(x+1)(x4)

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

f(x)=0(x+1)(x4)=0x=1,x=4

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,4-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

f(0)=(0+1)(04)=4<0

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,4-] 

A=14(x+1)(x4)dx=14(x2+x4x4)dx=14(x23x4)dx=14(x2+3x+4)dx=(13x3+32x2+4x)|14=(13(4)3+32(4)2+4(4))(13(1)3+32(1)2+4(1))=1256

إذن، المساحة هي: 256 وحدة مربعة.

منحنى الاقترانيبين الشكل المجاور منحنى الاقتران f(x)=x22x:

(13) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران، والمحور x

f(x)=x22x

حسب الشكل، فإن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [0,2]

A=02(x22x)dx=02(x2+2x)dx=(13x3+x2)|02=(13(2)3+(2)2)(13(0)3+(0)2)=43

إذن، المساحة هي: 43 وحدة مربعة.

 

(14) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران، والمحور x، والمستقيم x=3

A=23(x22x)dx=(13x3x2)|23=((99)(834))=43

إذن، المساحة هي: 43 وحدة مربعة.

(15) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران، والمحور x، والمستقيم x=-1

A=10(x22x)dx=(13x3x2)|10=(0)(131)=43

إذن، المساحة هي: 43 وحدة مربعة.

التمثيل البياني(16) يبين التمثيل البياني المجاور شكل السطح العلوي لجناح طائرة، ممثلاً بالمعادلة: y=8+8x6x، حيث: 0x4. أجد مساحة السطح العلوي لجناح الطائرة.

A=04(8+8x6x)dx=04(8+8x126x)dx=(8x+163x323x2)|04=(8x+163x33x2)|04=(8(4)+163433(4)2)(0)=803

إذن، المساحة هي: 803 وحدة مربعة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 02 / 2023

النقاشات