أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المساحة

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، وتقع فوق هذا المحور

أتحقق من فهمي صفحة (33):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = x + 3$ ، والمحور $x$ ، والمستقيمين: $x = 3, x = - 1$ .

$f (x) = x + 3$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{aligned} f (x) = 0 & \Rightarrow x + 3 = 0 \\ \Rightarrow x = - 3 \end{aligned}$

وبما أن 3- لا ينتمي إلى الفترة [1,3-] إذن نهملها.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,3-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f (0) = 0 + 3 = 3 > 0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x

$\begin{aligned} A & = \int_{- 1}^{3} (x + 1) d x \\ = {(\frac{1}{2} x^{2} + x) |}_{- 1}^{3} \\ = (\frac{1}{2} (3)^{2} + 3) - (\frac{1}{2} (- 1)^{2} - 1) \\ = 8 \end{aligned}$

إذن، المساحة هي: 8 وحدات مربعة.

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، وتقع أسفل هذا المحور

أتحقق من فهمي صفحة (34):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = x^{2} - 4$ ، والمحور $x$ ، والمستقيمين: $x = 1, x = - 1$ .

$f (x) = x^{2} - 4$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{aligned} f (x) = 0 & \Rightarrow x^{2} - 4 = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x + 2) = 0 \\ \Rightarrow x = 2, x = - 2 \end{aligned}$

وبما أن كلا العددين 2,2- لا ينتمي إلى الفترة [1,1-] إذن نهملهما.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,1-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f (0) = 0 - 4 = - 4 < 0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x

$\begin{aligned} A = - \int_{- 1}^{1} (x^{2} - 4) d x \\ = - {(\frac{1}{3} x^{3} - 4 x)|}_{- 1}^{1} \\ = - ((\frac{1}{3} (1)^{3} - 4 (1)) - (\frac{1}{3} (- 1)^{3} - 4 (- 1))) \\ = \frac{22}{3} \end{aligned}$

إذن، المساحة هي: $\frac{22}{3}$ وحدات مربعة.

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، ويقع أحد جزأيها فوق المحور x، ويقع الجزء الآخر أسفل هذا المحور

أتحقق من فهمي صفحة (36):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = x^{2} + 2 x$ ، والمحور $x$ ، والمستقيمين: $x = - 3, x = - 1$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{aligned} f (x) = 0 & \Rightarrow x^{2} + 2 x = 0 \\ \Rightarrow x (x + 2) = 0 \\ \Rightarrow x = 0, x = - 2 \end{aligned}$

وبما أن كلا العددين 2- ينتمي إلى الفترة [1-,3-] إذن تقسم الفترة إلى فترتين:

[1-,2-] و [2-,3-]

نختار عدداً ضمن الفترة [2-,3-]، وليكن $- \frac{5}{2}$ ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) = \frac{5}{4} > 0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [2-,3-]

نختار عدداً ضمن الفترة [1-,2-]، وليكن $- \frac{5}{2}$ ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) = \frac{5}{4} > 0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1-,2-]

$\begin{aligned} A & = \int_{- 3}^{- 2} (x^{2} + 2 x) d x - \int_{- 2}^{- 1} (x^{2} + 2 x) d x \\ = {(\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}) |}_{- 3}^{- 2} - {(\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}) |}_{- 2}^{- 1} \\ = ((\frac{1}{3} (- 2)^{3} + (- 2)^{2}) - (\frac{1}{3} (- 3)^{3} + (- 3)^{2})) - ((\frac{1}{3} (- 1)^{3} + (- 1)^{2}) - (\frac{1}{3} (- 2)^{3} + (- 2)^{2})) \\ = 2 \end{aligned}$

إذن، المساحة هي: 2 وحدات مربعة.

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، ولا تكون محدودة بمستقيمين

أتحقق من فهمي صفحة (38):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = x^{2} + 5 x + 4$ ، والمحور $x$ .

$f (x) = x^{2} + 5 x + 4$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{aligned} f (x) = 0 & \Rightarrow x^{2} + 5 x + 4 = 0 \\ \Rightarrow (x + 4) (x + 1) = 0 \\ \Rightarrow x = - 4, x = - 1 \end{aligned}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [1-,4-]، وليكن 2- ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f (- 2) = (- 2)^{2} + 5 (- 2) + 4 = - 2 < 0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1-,4-]

$\begin{aligned} A & = - \int_{- 4}^{- 1} (x^{2} + 5 x + 4) d x \\ = - {(\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 4 x) |}_{- 4}^{- 1} \\ = - ((\frac{1}{3} (- 1)^{3} + \frac{5}{2} (- 1)^{2} + 4 (- 1)) - (\frac{1}{3} (- 4)^{3} + \frac{5}{2} (- 4)^{2} + 4 (- 4))) \\ = \frac{9}{2} \end{aligned}$

إذن، المساحة هي: $\frac{22}{3}$ وحدات مربعة.

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f (x) = x^{3} - 9 x$ ، والمحور $x$ .

$f (x) = x^{3} - 9 x$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{aligned} f (x) = 0 & \Rightarrow x^{3} - 9 x = 0 \\ \Rightarrow x (x^{2} - 9) = 0 \\ \Rightarrow x (x + 3) (x - 3) = 0 \\ \Rightarrow x = 0, x = - 3, x = 3 \end{aligned}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [3,0-]، وليكن 1- ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 9 (- 1) = 8 > 0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران فوق المحور x في الفترة [3-,0]

نختار عدداً ضمن الفترة [0,3]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f (1) = (1)^{3} - 9 (1) = - 8 < 0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران تحت المحور x في الفترة [0,3]

$\begin{aligned} A & = \int_{- 3}^{0} (x^{3} - 9 x) d x - \int_{0}^{3} (x^{3} - 9 x) d x \\ = {(\frac{1}{4} x^{4} - \frac{9}{2} x^{2}) |}_{- 3}^{0} - {(\frac{1}{4} x^{4} - \frac{9}{2} x^{2}) |}_{0}^{3} \\ = ((0) - (\frac{1}{4} (- 3)^{4} - \frac{9}{2} (- 3)^{2})) - ((\frac{1}{4} (3)^{4} - \frac{9}{2} (3)^{2}) - (0)) \\ = \frac{81}{2} \end{aligned}$

إذن، المساحة هي: $\frac{81}{2}$ وحدات مربعة.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

09 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025