مسألة اليوم

مسألة اليوم

تكامل اقترانات خاصة

يتغير عدد الطلبة الذين يلتحقون بإحدى الجامعات الجديدة سنوياً بمعدل: $P^{'} (t) = \frac{5000}{\sqrt{(t + 1)^{3}}}$ ، حيـث $P (t)$ عدد الطلبة الملتحقين بالجامعة، و $t$ الزمن بالسنوات منذ تأسيس الجامعة. أجد عدد الطلبة الذين درسوا في الجامعة بعد 3 سنوات من تأسيسها، علماً بأن عددهم عند تأسيس الجامعة بلغ 2000 طالب.

أولاً نجد تكامل الاقتران $P^{'} (t)$

$\begin{aligned} P (t) = \int \frac{5000}{\sqrt{(t + 1)^{3}}} d t & = \int \frac{5000}{(t + 1)^{\frac{3}{2}}} d t \\ = \int 5000 (t + 1)^{- \frac{3}{2}} d t \\ = - 10000 (t + 1)^{- \frac{1}{2}} + C \end{aligned}$

ثانياً، نجد ثابت التكامل C:

بما أن عدد طلاب الجامعة عند التأسيس إذن $P (0) = 2000$

$\begin{aligned} P (t) = - 10000 (t + 1)^{- \frac{1}{2}} + C \\ P (0) = - 10000 (0 + 1)^{- \frac{1}{2}} + C \\ 2000 = - 10000 + C \\ C = 12000 \\ P (t) = - 10000 (t + 1)^{- \frac{1}{2}} + 12000 \end{aligned}$

ثالثاً، نجد عدد الطلبة بعد 3 سنوات من التأسيس:

$\begin{aligned} P (3) & = - 10000 (3 + 1)^{- \frac{1}{2}} + 12000 \\ \approx 7000 \end{aligned}$

إذن، عدد الطلبة بعد 3 سنوات من التأسيس هو 7000 طالب.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025